7.1正切函数定义

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1、第一章三角函数----1.7正切函数------------学案一、学习目标通过对正切函数的图像与性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.二、自主学习预习课本P36～38，思考并完成以下问题1．正切函数的定义是什么？　2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？　3．正切值在各象限的符号是什么？　4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？　　　　1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠＋k

2、π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tanα＝.(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负．(4)正切线在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．[点睛]　(1)若α＝＋kπ(k∈Z)，则角α的终边落在y轴上，此时P(0，b)，比值无意义，因此正切函数的定

3、义域为.7(2)正切函数tanα＝是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．2．正切函数的图像及特征(1)y＝tanx，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)．(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．[点睛]　正切曲线是被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．3．正切函数的性质函数y＝tanx定义域值域R周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)

4、，最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在(k∈Z)上是增加的1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝－tanx的定义域为(　　)(2)正切函数在其定义域内为增函数(　　)(3)若角α的终边在y＝x上则tanα＝1(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√2．直线y＝a与y＝tanx的图像的相邻两个交点的距离是(　　)7A.　　　　　　　　B．πC．2πD．与a的值的大小有关解析：选B　由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π.3．函数y＝tanx，x∈的值域是________．答案：[0,1]4．函数

5、f(x)＝1－2cosx＋

6、tanx

7、是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：f(x)的定义域为，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋

8、tan(－x)

9、＝1－2cosx＋

10、tanx

11、＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案：偶三、合作探究:探究1:利用定义求正切值[典例1]　如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tanθ；(2)若已知Q，试求tanα.[解]　(1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对

12、称，且P，故θ的终边与单位圆交于P′，则tanθ＝＝－.(2)∵∠AOQ＝α且Q，∴tanα＝＝.利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P为角的终边(终边不与y轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P的纵坐标与横坐标的比值；若点P为角的终边(终边不与y轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P的纵坐标与横坐标的比值．　　　　　探究2：正切函数的定义域、值域7[典例2]　(1)求函数f(x)＝3tan的定义域．(2)求下列函数的值域．①y＝tan，x∈；②y＝tan2x＋4tanx－1.

13、[解]　(1)由题意知，2x－≠kπ＋(k∈Z)，∴x≠＋(k∈Z)，(2)①∵x∈，∴－≤x－＜，y＝tan在上为增函数，且y≥－1，∴函数y＝tan，x∈的值域为.②令t＝tanx，则t∈R，y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，∴函数y＝tan2x＋4tanx－1的值域为.(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tanx，需x≠kπ＋，k∈Z.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法．　　　　　　探究3：正切函数的图像及其单调性题点一

14、：正切函数图像的识别1．函数y＝tanx＋sinx－

15、tanx－sinx

16、在区间内的图像大致是(　　)解析：选D　法一：由题意，得y＝作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x从右