2015年湖南省长沙市长郡中学等十三校高三第二次联考数学（理）试题

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1、2015届湖南省长沙市长郡中学等十三校高三第二次联考数学（理）试题一．选择题1．集合，则（）A．B．C．D．2．下列命题中，真命题是（）A．，使得B．C．函数有两个零点D．是的充分不必要条件3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为()A．B．C．D．64．（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．一定是奇函数D．一定是偶函数5．已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为()A．B．C．D．6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A.1008B.2015C.1007D.7．已知抛物线，点，O为坐

2、标原点，若在抛物线C上存在一点，使得，则实数m的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）8．设函数在R上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”若给定函数，则下列结论不成立的是（　）A.B.C.D.9.已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．（第10题图）10．如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．二．填空题（一）选做题11．如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，，若，，则.12．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半

3、轴为极轴建立极坐标系.若点为直线上一点，点为曲线为参数）上一点，则的最小值为.13．已知函数f(x)=

4、x-k

5、+

6、x-2k

7、，若对任意的x∈R，f(x)≥f(3)=f(4)都成立，则k的取值范围为.（二）必做题14．设，则二项式的展开式的常数项是_________.15．如果实数满足条件：，则的最大值是。16．平面向量满足，，，，则的最小值为.三．解答题17．（本题满分12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球.(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；(II)记为取出的3个球中编号的最

8、小值，求的分布列与数学期望.18．已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间;(2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积。19.（本题满分12分）如图,在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点，为上任意一点.(I)证明：平面平面；(II)若平面，并且二面角的大小为，求的值.20（本题满分13分）已知数列中，(1)求证：数列是等比数列；(2)若是数列的前n项和，求满足的所有正整数n.21.已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N(与P点不重合)两点(1)求椭圆方程(2)求线段

9、MN长的最大值，并求此时点P的坐标22．设函数．(1)若函数在上为减函数，求实数的最小值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．湖南省2015届高三十三校联考第二次考试数学（理）一、选择题二、填空题（一）选做题（二）必做题三、解答题18、【解析】（1）由题意，的最大值为，所以．而，于是，．为递减函数，则满足，即．所以在上的单调递减区间为．……………….5分（2）设△ABC的外接圆半径为，由题意，得．化简，得．由正弦定理，得，．①…………………….8分由余弦定理，得，即．②……………….10分将①式代入②，得．解得，或（舍去）．．……………….12分20、解：（Ⅰ）设，因为==,所以数

10、列是以即为首项，以为公比的等比数列.………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，由，得，所以，…………………….10分显然当时，单调递减，又当时，＞0，当时，＜0，所以当时，＜0；，同理，当且仅当时，＞0，综上，满足的所有正整数为1和2．……………………………………13分21、解：（1）圆心坐标（1，0），所以c=1，又，∴故b=1,故椭圆方程为………4分(2)设P（，，∴…………..6分直线PM的方程∴同理∴m,n是方程两实根由韦达定理：………9分…11分令，显然由f(x)的单调性知∴，此时故P点坐标为（），即椭圆左顶点………………13分22、解：（Ⅰ）由已知得x＞0，x≠1．因f(x)在上为减

11、函数，故在上恒成立．…1分所以当时，．又，………2分故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．……………4分（Ⅱ）命题“若存在使成立”等价于“当时，有”．………………………5分由（Ⅰ），当时，，．问题等价于：“当时，有”．…………………6分①当时，由（1），在上为减函数，则=，故．…………………8分②当<时，由于在上的值域为（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，于是，，矛盾．…………………10分（ⅱ），即，由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足