2015年湖南省长沙市长郡中学等十三校高三第二次联考数学（文）试题

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1、2015届湖南省长沙市长郡中学等十三校高三第二次联考数学（文）试题时量：120分钟，满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合＝，＝，则=（）A．　B．C．　　　D．2．不等式成立是不等式成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（　）A．780　B．680　C．648　D．4604．输入时，运行如图所示的

2、程序，输出的值为（）A．4B．5C．7D．95．已知，则的最小值为（）A．B．C．D．66．下列函数中，在上为增函数的是（）AB．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．8．已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（）A．6B．3C．D．9．称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足:①；②；③对任意的，恒有，则（）A．B．C．D．10．已知函数，若对，都有，则实数的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．已知复数（其中是虚数

3、单位），则．12．若直线的参数方程为，则直线的斜率为．13．函数存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围为．14．在区间和分别取一个数,记为,则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．15．在锐角中，，，则边的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分）编号分别为A1，A2，…，A16的16名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138（1）将得分

4、在对应区间内的人数填入相应的空格：区间[10,20)[来源[20,30)[30,40]人数（2）从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．17、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，点在侧棱上．（1）求证：平面；（2）若侧棱与底面所成角的正切值为，点为侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．18、（本小题满分12分）已知正项数列的首项，前项和满足．（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．19、（本

5、小题满分13分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形有左边上，设，，那么的长度取决于角的大小．（1）写出用表示的函数关系式，并给出定义域；（2）求的最小值．20、（本小题满分13分）如图，椭圆的离心率为，、分别为其短轴的一个端点和左焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为，，过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，，直线，交于点，证明点在一条定直线上．21、（本小题满分13分）设知函数（是自然对数的底数）．（1）若函数在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设函数的两个极值点为和，记过点，的直线的斜率为，是否

6、存在，使得？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．湖南省2015届高三十三校联考第二次考试数学（文）一、选择题二、填空题三、解答题17、证明（1）由已知可算得，，故，又，平面，故，又，所以平面；………………………6分解（2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，易证明，则即异面直线与所成角；又底面，即为与底面所成角，即，，即，易求得，，则在中，，即异面直线与所成角的余弦值为．………………………12分19、解（1）由已知及对称性知，，，又，，又由得，，即所求函数关系式为，………………………4分由得，，又显然，，即函数定义域为………………………7分（2），，令（），利用导数求

7、得，当时，，所以的最小值为．………………………13分20、解（1）由已知，，，且，，，因此椭圆C的方程………………………4分（2）由题意，设直线：，，，联立得，则，①………………………8分设直线：，：，联立两直线方程，消去得②………………………10分又，，并不妨设，在x轴上方，则，代入②中，并整理得：将①代入，并化简得，解得，因此直线，交于点在定直线上．………………………13分21、解（1）的定义域为，并求导，令，其判别式，由已知必有，即或；①当时，的对称轴且，则当时