向量法在中学数学解题中的应用 陈建亮

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1、向量法在中学数学解题中的应用陈建亮（浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山316004）[摘　要]：向量是中学数学领域的一个重要内容，向量分为平面向量和空间向量．运用向量解题是中学数学解题教学的一个难点．本文首先对向量的有关知识进行系统的归纳整理，然后着重探讨向量法在代数、三角、平面几何、平面解析几何和立体几何解题中的应用．[关键词]：向量；向量法；中学数学；解题；应用向量是中学数学领域的一个重要内容，向量分为平面向量和空间向量．本文首先对中学数学领域里的向量知识作一系统的归纳整理，然后通过具体例题说明向量法在代数、三角、平面几何、平面解析几何和立体几何解题中的应用．１

2、向量的有关知识1.1平面向量向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等．(1)向量的三种线性运算及运算的三种形式.向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言．主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法记则实数与向量的乘积记，则两个向量的数量积记，则运算律向量加法：，；实数与向量的积：，，；两个向量的数量积：，，．(2)两个向量平

3、行的充要条件符号语言：若∥，且，则；坐标语言：设，则∥．(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：⊥；坐标语言：设，则⊥．(4)线段定比分点公式如图，设,则定比分点向量式：；定比分点坐标式：设，则　　　　．(5)平移公式：如果点按向量平移至，则，分别称，为旧、新坐标，为平移法则．1.2空间向量(1)共线向量共线向量定理：对空间任意两个向量，∥存在实数使.(2)共面向量称平行于同一平面的向量为共面向量.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面存在两个实数使．(3)空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组,使

4、．(4)两个向量的数量积空间两个非零向量的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同.，当时，称向量与互相垂直，记作⊥．(5)空间向量的坐标运算空间向量的各种运算的坐标表示与平面向量类似，这里不再详述．2向量法在中学数学解题中的应用2.1在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域)利用向量的模的不等式,,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1求函数的最大值．分析：观察其结构特征，由联想到向量的数量积的坐标表示．令，则，且．故，当且仅当与同向，即时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式条件等式和不等式的证明，常常

5、要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2设，其中．求证:=．分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令，则易知与的夹角为0或π，所以∥，，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁．例3求实数使得它们同时满足方程：和．分析：将两方程相加并配方得，由此联想到向量模，令，则，，又因为，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当==时等式成立，问题解决．(4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研

6、究解决．例4已知复平面内正方形的两对角顶点和所对应的复数分别为和，求另外两顶点和所对应的复数．分析：先求，为此得求．因，而是依逆时针方向旋转，同时将的模缩为倍，因此先求．而，故对应的复数是，于是对应的复数是又，所以可求．同理可求，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5设，且，试讨论的范围．分析：由联想到向量的模，令，则，.由得，解得，由对称性便可得的范围．2.2在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创

7、造了有利的条件．(1)求值例6已知，求锐角的值．分析：由已知得，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令，则，．由得，所以，即，代入已知等式便可求得的值．(2)证明恒等式例7求证：分析：由等式右边联想到向量的数量积，令，则，且易知与的夹角为，则，又，则问题得证．2.3在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，分别为三边上的中线，若要证明能作成一个三角形，只须证明．证明：设=,=,=,则，而，,所以　．于是　，即以为