3、5又取"八彳O得5评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，=Zy=3,这样便把已知条件/(2)=1,/(6)=1于与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。例4.已知门兀)的定义域为丁，且/(x+y)=/(x)+/(y)对一切正实数x,y都成立，若于(8)=4,则/⑵二o分析：在条件/(x+}9=/(x)+/(y)中，令x=y=4,得/(8)=/(4)+/(4)=2/⑷=4,.-./(4)=2又令x=y=29得/(4)=/(2)+/(2)=2,三、值域问题例5.设函数f(x)定义于实数集上,对于任
4、意实数x、y』(x+刃=畑心总成立，且存在心工乃,使得/(心2/(花)，求函数/(X)的值域。解：令*尸0,得/(0)=[/(0)]即有/(0)丸或八0)=1。若了(°)=°,则/W=/(x+0)=/(x)/(0)=0＞对任意x*均成立,这与存在实数x宀2,使得/(心)"(乃)成立矛盾，故了(0)工0,必有/(0)i。由于/(x+iy)=/(xW)对任意X、yeR均成立，因此，对任意兀办，有=/(!)/(!)=[/(
5、)]2下面来证明，对任意xg川》*°设存在心办，使得/(心)=°则f(0)=f(*o~f(x。)/
6、(一x。)=0这与上面已证的矛盾，因此，对任意xeR，/(x)hO所以/(x)e(0,+oo)评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例6.已知2/(x)+f—=兀求/(x)o]2/(x)+/-消去得I兀丿解在原式中将X换成丄，再与原式联立，得/、2X(1A2/—+/(兀)X)f(x)=2x2-13x评析：如果把x和丄分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变
7、量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例7・设f（x）定义于实数集上，当Q°时，了（X）>1,且对于任意实数x、y,有了（X+刃n了。）,求证：/（"）在R上为增函数。证明：在¥（x+y）=:7'（x）7'O）中取兀=尹=0,得子（0）=［子（0）］2若/（0）=0,令x>0,尹=0,贝
8、j/（x）=0>与/（x）>l矛盾所以/（0）工0,即有"）=1当时，/W>1>0；当XV0时，-xaO,/（-X）>1>0所以心17^)>0又当x=0时，/(0)=1>0所以对任意W恒有/（x）>°设一00CX1CX2<4<
9、O,贝
10、jx2-xx>0,/(x2-XX)>1所以/（^2）=伽+（乃一无）］=/（^1）/（X2一心）>/（Xj所以厂“）在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。例&如果奇函数门兀）在区间［3,7］上是增函数且有最小值为5,那么/（兀）在区间［-7,-3］上是A.增函数且最小值为-5C.减函数且最小值为-5B.增函数且最大值为_5D.减函数且最大值为一5分析：画出满足题意的示意图1,易知选B。六、
11、奇偶性问题例9.已知函数了⑴化丘心0）对任意不等于零的实数心、乃都有/（心乃）=/（西）+/（乃）,试判断函数f（x）的奇偶性。解：取心=-1,1=i得：/（T）n+/（i）,所以八）=°又取心=乃=一1得：/G）=/（-!）+/（-!）,所以/（一1）=0再取心=x,x2=-1贝=+即/（-x）=/（x）因为/（X）为非零函数，所以/（X）为
