证明数列不等式中的常用方法

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1、28数学教学研究第31卷第δt年8月'证明数列不等式中的常用方法黄俊峰,袁方程(湖北省大冶市第一中学们5100)证明与自然数有关的不等式的常规方法再令J=笨捋,得是数学归纳法和放缩法,但数学归纳法的证明过程比较烦琐,而放缩法的技巧性很强,难告h笨C辟彳一篾》鞍孓度较太,可用构造数列的方法证明此类不等式,可使证明过程思路清晰,简洁明快。ln(9z+1)-卜-ˉln(PB十2)炭箐堵缶1作差讧明数列不等式例1(2010年湖北理科21题)已知函2)+∶,炭裂≡亦'ln(,B+ˉ数只o=a=+董互+c(@)0)的图像在点(1,故

2、1+告+告+⋯+÷‘r(1))处丨切线方=~1。程为y=(I)卢>ln(″+D+灭(″≥渭@表示出3,c;L恒≠缶下D·(Ⅱ)若r(.r))l叱在匚1,→ˉ∞)~成对r(刀))g(″)型不等式,若r(m)或立,求@的取值范围;.⊥g(,:,是和式表达式,则可构造数列@m=r(″)-g(,z,,然后再利用(@″)的单调性来证明不(Ⅲ)证明:1+告+告+⋯+″>ln(″+等式。D+;o≥D·2作商证明数列不等式‘揣例2(200g年高考山东理科第⒛题)简析(I×Ⅱ)略。等比数列(cm)的前″项和为S臼’已知对任意(Ⅲ)构造数列

3、(a刀〉’便∶om=1+古+告的″∈N+,点(″,Sm)均在函数y='+r(3)‘11n(PBˉo且3≠1,3,r均为常数)的图像上。+告+·o·丬″←1)-ˉ从而2(″+1)’(I)求r的值;·(Ⅱ)当‰+1ˉn臼犭=2时,记九=2(logz夕m+D=″ˉ~~1】_hC,t+1)+灭9:∶(饣∈N+),证明:对任意的″∈N+,不等式+~十饣+1Fˉ″+1万·⋯)m戍立。ˉlr1(″+2)一屮屮屮Ξ(″+I简析(I)略=告(辟″+2-ln丌″+】2(Ⅱ)由+l,进争一笨扛卦。题意有@″=2″而得到仇=2m,故所证不等式即

4、为由(Ⅱ)知,当臼≥告时,r(J。)l叱在357·>/湃T.·日248竿匚1,+∞)上恒成立,令=告有'构造效列(@臼)’使1一1一5一7一rε〓2J一≥叱J≥旷·在62Pa十1J号’浩2″第31卷第8期2012年8月数学教学研究从而例4证明:膏托+琚+￠m+1=湘。2″+3廴十曰印/″+22″+2铹·=>刳,分析记数列〈仇)的前″项和S″故@m+ェ>口刀’即数列(Ωヵ)单调递增,又cz=则″≥2,岛~=气≠,″≥2时,仇=岛一岛~喾》,臼=房>·所以‰》,即1一〓2,当″=1时也适合上式,故″∈N+号÷吾⋯竿>湘。1一

5、2,所证不等式左边可以看成数列(四对只D)g(,:,型不等式,若臼〉的前r(″)或g(D是积式表达式,则可构造数列%=蛋,然后″项秕其中‰=,要证缶再利用(%)的单调性来证明不等式。挠+磊+···%雨3利用数列的最值讧明不等式龟而铹,只例3已知等差数列(%)的前刀项和为需证明‰(绕,即证(告,s,公差d≠0,臼=1,且臼吻呦成等比数列。即证zPz2(铴2-1,即证‰2>1,显然成立。(I)求数列(@″)的前″项和S功;评注对于形如臼+cz+¨十曰″(⑩设仇=耦,数列慨肭前″项和瓦,rC,a,不等式,假设能用放缩法证明,对

6、c刀进行放缩的方法为cヵ(仇,则臼+勿+⋯+@刀求证:猊一‰~+l⒏(,:bD.(31+饧+⋯+仇、痴黯‰士,因此可以将r(″)看成是分析(I)易得岛丁z9z2-″。数列(3″)的前″项和,所以(Ⅱ)易仇=r(″)-r(″-1)(″≥2),仇二得九=z,9,△=m2+刀r(1)。,则2几一%″ˉ1+184.2利用无穷递缩等比数列备项和f圬=29z2-←2,。-18(9a-1)-卜18例5设任意实数J,y满足=2CP:-4)2+4≥

7、J丨≤1,丨丿

8、4(″=4时取等号),钮龇+南≥·南「逶弓==戚分析结论的左边刀与的结南南

9、≤晶=4(″=3时取等号),构类似无穷等比数列求和公式(逆用求和公式),以构造无穷等比数列〈^2),(y2mˉ2),上两等号不可能同时取到,故从而有'扌2几一9仇~1+18)(,z>1)。r圭7+丁圭7评注本题若采用作差或作商,运算量=(1+ε2+严+¨)+〈1+y+y+¨很大,可考虑证明左边数列的最小值大于右)=2+('+y2)+(/+')+⋯·边数列的最大值。4构造数列的和证明不等式≥2+2Jy+2(JDP,2+¨·4·1利用c1+ca+¨+c田=凡-21一ェv·甄囗■盯忆数学教学研究第31卷第8期⒛12年8月5构造

10、数列的积讧明不等式而由归纳假设只能得到例6求证:告砝+oo·+南+南(1+1)(1+告·(1+疝)(1+÷)⋯)≤÷一拮+币≠挠y,)/2″+⒈则需证分析设@″=1+瓦

11、P设数列(仇)的+南←拮积为/z,:+1,即3132⋯仇=/‰+1,易求得^F面九=祭姑午丁ˇ(羝艹即拮蕊ˉ≥而丰歹,⑷宀飞况(Ⅲ)观察(0式的结构