Ch08-1应用概率统计 陈魁

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1、第一节点估计一、点估计问题的提法二、估计量的求法三、小结一、点估计问题的提法设总体X的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.例1在某炸药制造厂,一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量,假设它服从以0为参数的泊松分布,参数为未知,设有以下的样本值,试估计参数.着火次数k0123456发生k次着75905422621250火的天数nk解因为X~π(),所以E(X).用样本均值来估计总体的均值E(X).6knkk01x(075

2、1902543226250nkk0465261)1.22.故E(X)的估计为1.22.点估计问题的一般提法设总体X的分布函数F(x;)的形式为已知,是待估参数.X,X,,X是X的一个样12n本,x,x,,x为相应的一个样本值.12n点估计问题就是要构造一个适当的统计量ˆ(X,X,,X),用它的观察值ˆ(x,x,,x)12n12n来估计未知参数.ˆ(X1,X2,,Xn)称为的估计量.通称估计,ˆ(x1,x2,,xn)称为的估计值.简记为ˆ.例2在某纺织厂细纱

3、机上的断头次数X是一个随机变量,假设它服从以0为参数的泊松分布,参数为未知,现检查了150只纱锭在某一时间段内断头的次数,数据如下,试估计参数.断头次数k0123456断头k次的纱锭数n4560329211150k解先确定一个统计量X,再计算出X的观察值x,把x作为参数的估计值.x1.133.的估计值为1.133.二、估计量的求法由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,如何求估计量是关键问题.常用构造估计量的方法:(两种)矩估计法和最大似然估计法.1.矩估计法设X为连续型随机

4、变量,其概率密度为f(x;,,,),或X为离散型随机变量,12k其分布律为P{Xx}p(x;,,,),12k其中,,,为待估参数,12k若X,X,,X为来自X的样本，12n假设总体X的前k阶矩存在,且均为,,,的函数,即12kllE(X)xf(x;,,,)dx(X为连续型)l12kll或lE(X)xp(x;1,2,,k),(X为离散型)xRX其中R是x可能取值的范围,l1,2,,kXn1l因为样本矩AlXi依概率收敛于相应的ni1总体矩

5、(l1,2,,k),l样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数.矩估计法的定义用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.矩估计法的具体做法:令lAl,l1,2,,k.这是一个包含k个未知参数,,,的方程组,12k解出其中,,,.12k用方程组的解ˆ,ˆ,,ˆ分别作为,,,的12k12k估计量,这个估计量称为矩估计量.矩估计量的观察值称为矩估计值.例3设总体X在[0,]上服从均匀分布,其中(0)未知,(X,X,,X)

6、是来自总体X的样本,12n求的估计量.解因为E(X),12ˆ根据矩估计法,令AX,12所以ˆ2X为所求的估计量.例4设总体X在[a,b]上服从均匀分布,其中a,b未知,(X,X,,X)是来自总体X的样本,求a,12nb的估计量.ab解1E(X),22222abab2E(X)D(X)[E(X)],124nab1令AX,1i2ni122n(ab)(ab)12A2Xi,124ni1ab2A1,即2ba12(AA).21解方程组得到a

7、,b的矩估计量分别为n232aˆA13(A2A1)X(XiX),ni1n232bˆA13(A2A1)X(XiX).ni1例5设总体X服从几何分布,即有分布律k1P{Xk}p(1p)(k1,2,),其中p(0p1)未知,(X,X,,X)是来自总12n体X的样本,求p的估计量.k11解1E(X)kp(1p),pk11令AX,1pˆ1所以pˆ为所求p的估计量.X2例6设总体X的均值和方差都存在,且有220,但和均为未知,又设X,X,,X是12n

8、2一个样本,求和的矩估计量.解1E(X),22222E(X)D(X)[E(X)],A1,令22A2.解方程组得到矩估计量分别为ˆA1X,nn2212212ˆA2A1XiX(XiX).ni1ni1上例表明:总体均值与方