三角函数、平面向量综合题六类型题型解析

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1、三角函数与平面向量综合题的六种类型题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．由于，所以．【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。　　题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题　　【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图

2、像与轴的交点，求与的夹角。【解答】（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.5　　【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求；（2）若，且，求．【解答】（1），,又，解得：，，是锐角，．（2），，，又，，，，．【评析】根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正

3、弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】（2007年高考陕西卷），其中向量，，，且函数的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。【解答】（Ⅰ）由已知，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当时，的最小值为，由，得值的集合为．5　　【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例5】（

4、2007年高考湖北卷）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解答】∵，∴平移后的解析式为，选．【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为．题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例6】（2006年高考湖北卷）设向量，函数.（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.【解答】（Ⅰ）∵∴的最大值为，最小正周期是（Ⅱ）要使成立，当且仅当，即,即成立的的取值集合是．　　【评析】结合向量的坐标运算法则，求出函数的三角函数关系式，再根据三角公式对函数的三角恒等关系，

5、然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。5【跟踪训练】1．设函数，其中向量，．（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．2．已知向量．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最大值．【参考答案】1．解：(Ⅰ)由题意得，，所以，的最大值为，最小正周期是.（Ⅱ）由得，即，于是，．因为为整数，要使最小，则只有，此时即为所求．2．解：（Ⅰ）若，则，由此得：，所以，．（Ⅱ）由得：5当时，取得最大值，即当时，的最大值为．5