应用根系关系不可忽略前提条件

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1、应用根系关系不可忽略前提条件―――判别式《初中生天地》2011年下旬刊中有一篇题《含字母系数的一元二次方程常见错解评析》，文中例5　已知a、b是方程的两个根且a、b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值。错解：由a、b是方程的两个根，得由a、b是斜边长等于1的直角三角形的两条直角边，得，即，从而解得评析：由于a、b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以,从而当时，，所以不合题意，舍去。当时，，，所以k的值为。稍加分析不难发现，当k的值为时原方程为。此时方程的根的判别式，所以原方程没

2、有实数根，∴也应舍去，故满足条件的k值不存在。　　不难发现，作者所犯错误正是该文中提到的的第二点：“忽视一元二次方程有实根的条件是导致方程有可能无解。”由求根公式可知当时，，∴可见抛开这个前提条件后的根系关系就成了无本之木，无源之水了，因此利用根系关系一定要考查判别式的值。以根第关系为考查内容的试题往往会以根的判别式为隐含条件这里略举几例来说明它们的同呈现方式：例1：（2010•孝感）关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若[2+x1（1﹣x1）][2

3、+x2（1﹣x2）]=9，求p的值．解答：解：（1）由题意得：△=（﹣1）2﹣4（p﹣1）≥0解得p≤，（2）由[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9得，（2+x1﹣x12）（2+x2﹣x22）=9∵x1，x2是方程x2﹣x+p﹣1=0的两实数根，∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，∴x1﹣x12=p﹣1，x2﹣x22=p﹣1∴（2+p﹣1）（2+p﹣1）=9，即（p+1）2=9∴p=2或p=﹣4，∵p≤∴所求p的值为﹣4．例2：（2010•乐山）①：若关于x一元二次方程

4、x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β．（1）求实数k的取值范围；（2）设，求t的最小值．解：（1）∵一元二次方程x2-2（2-k）x+k2+12=0有实数根a，β，∴△≥0，即4（2-k）2-4（k2+12）≥0，得k≤-2．（2）由根与系数的关系得：a+β=-[-2（2-k）]=4-2k，∴t=a+βk=4-2kk=4k-2，∵k≥-2，∴-2≤4k-2＜0，∴-4≤4k-2＜-2，即t的最小值为-4．例3：（2008•濮阳）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实

5、数根，且x12x22-x1-x2=115．（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值．解：（1）∵x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个根，∴x1+x2=6，x1x2=k，∵x12x22-x1-x2=115，∴k2-6=115，解得k1=11，k2=-11，当k1=11时，△=36-4k=36-44＜0，∴k1=11不合题意当k2=-11时，△=36-4k=36+44＞0，∴k2=-11符合题意，∴k的值为-11；（2）∵x1+x2=6，x1x2=-11∴x12+x22+8=（x1+x2）2-2x

6、1x2+8=36+2×11+8=66．总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．（2）根与系数的关系是：x1+x2=-ba，x1x2=ca．根据根与系数的关系把x12x22-x1-x2=115转化为关于k的方程，解得k的值是解决本题的关键．例4：（2011•荆州）关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（　　）A、1

7、B、-1C、1或-1D、2解：依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴3a+1a-2a+2a=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选：B．