高等数学中极限探究及应用

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1、高等数学中极限探究及应用高等数学中极限的研究和应用一、极限的种类及其定义1.数列极限。假设｛an｝为一个数列，若对于任意给定的正数&epsilon；,总存在一个正整数N,使得当n>；N时，总是有

2、an-a

3、<；&eps订on；,则我们称数列an收敛于a,记作an&rarr:a或liman=a（n&rarr；&infin；）,也称数列an的极限是a。在数列极限定义中，&epsilon；是预先给定的常数，N是根据&epsilon；而求出来的，故有时会记作N=N（&eps订on；）。&epsilon；具有二重性，既具有固定

4、性,又具有任意性，固定性是指&epsilon；是一个固定的很小的正数，任意性是指&epsilon；可以随意小。当&eps订on；具有固定性可确定数列逼近的程度，具有任意小的性质则可以刻画出数列逼近的无限性。&epsilon；和N的关系：&epsilon；越小则N越大，且N不是唯一的，因为它是由an-a

5、&11；&epsi1on；决定的，由于&eps订on；具有任意性，则N不唯一。故找到一个存在的N特别重要，一旦N的值确定了，则n就是比N大的任意自然数。打算找到N很不容易,可以通过适当放大法和分步法来找到N。适当放大法就是当a

6、n-a

7、<；&epsiIon；较复杂时，得出n很不方便，此时，可以将

8、an-a

9、<；&eps订on；放大，成为an~a

10、<；Al<；A2<；&hellip；<；&Epsilon；的形式，然后再通过化简讨论极限的证明问题就比较简单了；而分步法是为方便解题，对N做一些限制，从而使AN-A

11、<；&Epsilon；化简容易，此时一般都是假定N>；Nl(N1是常数)，然后再对

12、an-a

13、<；H(N)进行放大，通过解HN<；&Eps订on；,得出N>；N2o取N=max{Nl,N2},则当n&

14、gt；N是，会有

15、an-a

16、<；&epsilon；o论文代写2•函数极限。设f是定义在区间［a,+&infin；)上的函数，A是一个常数，如果对于任意给定的正数&epsilon；>；0,都存在一个大于或等于a的正数M,使得当时有

17、F(X)-A

18、<；&Epsilon；,则我们就称当X趋于正无穷时，函数F的极限为A,记作LIMF(X)=A或F(X)&rarr；A,(X&rarr；&infin；)；函数极限与数列极限的定义很相似自然变量的变化趋势相同，只是形态有所不同，数列极限中自然变量的形态为N,而函数极限中自然变量

19、的形态为XoN的取值是一切正整数，而X的取值是在一定的区间［A,+&infim)内；N的增长是离散型的，而x的增长是连续型的。数列极限中的证明，正整数N是关键，而函数极限f(x)&rarr；A(x&rarr；&infin；)中的证明，正数M是关键。有时在证明的过程中，函数的极限可能不存在，此时可以利用反证法对其进行证明，既可将复杂的问题简单化，又可以加深对极限定义的理解。二""<；br=““>；3•—元函数极限。设函数f（x）在xO的空心邻域UO（xO；&delta；）有定义，A是一个固定的数，如果对于任意给定的正数

20、&epsilon；,存在&delta；（O<；&delta；<；&delta；）使当O<；

21、x~xO

22、<；&delta；时有

23、f（x）-A

24、<；&delta；,那么我们就称当X趋于xO时，函数f的极限为A,记作limf（x）二A或f（x）&rarr；A（x&rarr；x0）o函数极限是在数列极限的基础上发展起来的，当函数的自变量取自然数时，则就是数列极限。数列极限和函数极限的自变量都是&epsilon；,数列极限的因变量是N,而函数极限的因变量是&delta；o函数极限中的因变量&delta；由&epsi

25、lon；决定，其变化方向是一致的，当&epsilon；变小时&delta；也越来越小。函数极限研究的是当x趋向于正无穷、负无穷、特定数xO及从左和右两个方向趋向于xO时，其值的变化趋势。而数列极限研究的是n趋向于无穷时数列的变化趋势。4•左、右函数极限。设函数f在xO的某个空心邻域U+0（xO；&delta；）（U~0（xO；&delta；））有定义，A是一个固定的数。如果对于任意给定的正数&eps订on；,存在一个数&delta；（O<；&delta；<；&delta；）,使得当xO<；X<；XO+&Del

26、ta；（XO-&Delta；<；X<；XO）时，存在If（x）-A

27、&it；x,则我们就说当函数由右（左）趋向于X0时，其极限是A,我们也称A是其右(左)极限。记作LINF(X)=A(LIMF(X)=A)O<；br=a“>；函数f趋向于的xO左极限等于右极限，则其趋向于xO