全国通用版2019高考数学二轮复习压轴大题突破练四函数与导数2文

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1、(四)函数与导数(2)1.(2018·成都模拟)已知f(x)=lnx-ax+1(a∈R).(1)讨论函数的单调性;(2)证明:当a=2,且x≥1时,f(x)≤ex-1-2恒成立.(1)解 ∵f(x)=lnx-ax+1,a∈R,∴f′(x)=-a=,当a≤0时,f(x)的增区间为(0,+∞),无减区间,当a>0时,增区间为,减区间为.(2)证明 当x∈[1,+∞)时,由(1)可知当a=2时,f(x)在[1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=-1,再令G(x)=ex-1-2,在x∈[1,+∞)上,G′(x)=ex-1>0,G(x)

2、单调递增,所以G(x)≥G(1)=-1,所以G(x)≥f(x)恒成立,当x=1时取等号,所以原不等式恒成立.2.(2018·合肥模拟)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=λ(x2-1)(λ为常数).(1)若函数y=f(x)与函数y=g(x)在x=1处有相同的切线,求实数λ的值;(2)当x≥1时,f(x)≤g(x),求实数λ的取值范围.解 (1)由题意得f′(x)=lnx+1,g′(x)=2λx,又f(1)=g(1)=0,且函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线,∴f′(1)=g′(1),则2λ=1,即λ=.(2)设

3、h(x)=xlnx-λ(x2-1),则h(x)≤0对∀x∈[1,+∞)恒成立.∵h′(x)=1+lnx-2λx,且h(1)=0,∴h′(1)≤0,即1-2λ≤0,∴λ≥.另一方面,当λ≥时,记φ(x)=h′(x),则φ′(x)=-2λ=.当x∈[1,+∞)时,φ′(x)≤0,∴φ(x)在[1,+∞)内为减函数,∴当x∈[1,+∞)时,φ(x)≤φ(1)=1-2λ≤0,即h′(x)≤0,∴h(x)在[1,+∞)内为减函数,∴当x∈[1,+∞)时,h(x)≤h(1)=0恒成立,符合题意.当λ<时,①若λ≤0,则h′(x)=1+lnx-

4、2λx≥0对∀x∈[1,+∞)恒成立,∴h(x)在[1,+∞)内为增函数,∴当x∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0恒成立,不符合题意.②若0<λ<,令φ′(x)>0,则1φ(1)=1-2λ>0,即h′(x)>0,∴h(x)在内为增函数,∴当x∈时,h(x)>h(1)=0,不符合题意,综上所述,λ的取值范围是.3.(2018·山东省名校联盟模拟)已知f(x)=xex+a(x+1)2+.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)当x>-2时,f(x)≥0,求a的

5、取值范围.解 (1)f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)=(x+1)(ex+2a),若函数f(x)在x=1处取得极值,则f′(1)=0,所以a=-,经检验,当a=-时,函数f(x)在x=1处取得极值.(2)f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)=(x+1)(ex+2a),①a≥0时,当-2-1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;又f(-1)=0,∴当x>-2时,f(x)≥0成立.②a<0时,令ex+2a=0,得x=ln(-2a),当ln(-2a)>-1,即a<-时,

6、当-2ln(-2a)时,f′(x)>0;当-1-1时,f′(x)>0,∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,又f(-1)=0,当x∈(-2,-1)时,f(x)<0,不符合题意,舍去;当-2

7、-1时,f′(x)>0,当ln(-2a)-1时,f′(x)>0,当-2

8、模拟)已知函数f(x)=x2+ax-aex,g(x)为f(x)的导函数.(1)求函数g(x)的单调区间;(2)若函数g(x)在R上存在最大值0,求函数f(x)在[0,+∞)上的最大值;(3)求证:当x>0时,xex-elnx>x3+x2.(1)解 

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