2019届高考数学二轮复习 专题三 第1讲 空间几何体的表面积和体积（文）学案

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1、第1讲空间几何体的表面积和体积考向预测1．三视图的识别和简单应用；2．简单几何体的表面积与体积计算．1．空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等．(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．2．空间几何体的两组常用公式(1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高/母线)；③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高/母线)；④S球表＝4πR2(R为球

2、的半径)．(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝πR3．热点一　空间几何体的三视图与直观图【例1】　(1)(2018·张家口期中)如图所示，在正方体中，为的中点，则图中阴影部分在平面上的正投影是（　　）A．B．C．D．(2)(2017·泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于(　　)A．4B．C．D．5解析　(1)由题意，点在平面上的投影是的中点，、在平面上的投影是它本身，所以在平面上的正投影是C中阴影部分，故选C.(

3、2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥P－ABC(如图所示)．棱锥最长的棱长PA＝＝．答案　(1)C　(2)C探究提高　1．由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认．二要熟悉常见几何体的三视图．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．【训练1】(1)(2017·兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D

4、1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为(　　)A．1B．2C．3D．4(2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)解析　(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示．∴三棱锥P－BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD，因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝×1×2＋×1×2＝2．(2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①，故其侧视

5、图为图②．答案　(1)B　(2)B热点二　几何体的表面积与体积【例2】　(1)(2018·上饶期末)如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）A．B．C．D．(2)(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析　(1)根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个圆柱所得，作出几何体的直观图（如图），则该几何体的表面积为．故选C．(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成，所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋．答案

6、　(1)C　(2)2＋．探究提高　1．由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小．(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式．2．(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．3．求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．【训练2】(1)(2017·枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是________．(2)(

7、2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　)A．＋πB．＋πC．＋πD．1＋π解析　(1)由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B－A1C1D(如图所示)．设正方体的棱长为a，则几何体的体积是V＝a3－4××a2·a＝a3＝，∴a＝1，∴三棱锥的棱长为，因此该三棱锥的表面积为S＝4××()2＝2．(2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋×π×＝＋π．答案　(1)2;(2)C．

8、热点三　多面体与球的切、接问题【例3】　(2019·广东一模)《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的