太阳鸟结题论文

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1、一类可压缩超弹性材料中空穴现象的定性分析摘要：材料中空穴的生成、增长以及相邻空穴的贯通是材料局部损伤和破坏的重要机理。木文研究了rti—类均匀各向同性的可压缩超弹性材料组成的柱体在给定的表面拉伸作川下的球对称变形问题.给出了问题的控制方程和边界条件，进而求得了描述柱体径向对称变形的参数型解析解.证叨了对任意给定的表而伸长，方程存在一个平凡解，它对应于柱体内部的均匀变形；然而，当表而伸长超过某个临界值时，方程的平凡解在临界点处发生分岔，并称Z为空穴分岔解，它描述了林体内部空穴的生成和增长，最后给出了数值算例。关键词：可压缩超弹性材料，球对•称变形，空穴分岔；1问题的数学描述1.1控制方

2、程假设半径为A的实心圆柱体由均匀各向同性的可压缩超弹性材料组成，考察柱体在表面均布的径向拉伸作用下的有限变形问题。在柱坐标系下，柱体中变形前和变形后的点分别表示为(/?,©,Z)和(几0,Z)，并且取坐标系的原点在圆柱体横截面的屮心处。在径向对称变形的假设下，变形分最、主伸长&(心1,2,3)为r=MR)>0,0O;^=0;z=Z(1)/I,=r(R)^A2=r(/?)/=a(2)其中r(/?)>0是待求的径向变形函数，Q>0是轴向拉伸，/•(/?)表示关于自变量的导数。容易看到，若,*(0+)=0,则柱体在现时构形中仍是实心的；若r(0+)>0,则在柱体屮心

3、有一个半径为厂(0+)的柱形空穴生成，此时假设空穴表面是无约束的。此外，为了确保变形是径向对称的，在00,于是由⑵得到?(/?)>0,01,于是有边界条件r(A)=/L41他久)一心]八R丿在球体

4、中心满足的边界条件为r(0+)rrr(0+)=0(8)式表示：若球体内部没有空穴生成，则有r(0+)=0；若在球体中心有空穴生成,即厂(0+)>0,则对不受约束的空穴表而，有％(0+)=0。1.2应变能函数众所周知，各向同性超弹性材料的本构关系可以完全山其应变能函数”=“(人，兄2”3)(9)来描述，其屮人仏是应变张最的主值，"(人凡‘人)是人，仏入的对称函数•在白然状态下，为了保证各向同性的超弹性材料对应的应变能函数的线性化与经典的线性理论•致，应变能函数W应满足的如卜的约束条件2(1—v)2vW(1丄1)=叱(1,1,1)=0,叱,(1,1,1)=，IV.(1,1,1)=^――(

5、10)l-2vl-2vdWd2W这里〃和1/分别为材料的无穷小剪切模量和泊松比，w严爭，W,=-^-—,(i,j“,2,iHj)・CAiCA,j此外，将应变能函数表示为应变张量的主不变罐»丿2和U的函数，即，可=叽帚2，叨=/4)+曲2)+/2仏)(11)(⑵其中Zj二入++禺，‘2=几1九+几3+人久3，‘3=兄1几。人3且/,g和力分别是主不变Mi},i2和U的非线性函数，且均为二次连续可微的；本文中，我们考虑如下一类特殊的可压缩超弹性材料模型，对应的应变能函数W的形式为W=W(z.,，2,U)=d

6、4—3)+〃2(，2-3)+hg(13)其中£,〃2是材料常数，力是二次连续可微

7、的非线性函数。由正规化条件(10)

8、,2,冇力(1)=0,/?'(1)=—(d]+2d°)(14)其中X表示对人,人和入屮任何一个变量的导数。另一方面，为了确保材料的力学行为的合理性，应变能函数还必须满足Legendre—Hadamard不等式或强凸性条件，从而有〃"(入也)〉。(15)至此，由各向同性可压缩超弹性材料模型(13)组成的林体在给定的表面径向伸长2(/1>1)作用卜的柱对称变形问题的数学模型由基本控制方程(6)、应变能两数(⑶，边界条件(7)和⑻纽成。2控制方程的解及其定性分析显然，对任意给定的A>1,满足边界条件⑺和⑻的控制方程的一个解(称为均匀变形解)为r(/?)=

9、XR(16)它对应于柱体内部的径向位移讥/?)=(A-1)/?O将(13)代入到(6),则有(17)•其中b山(12)3给出.山⑵可知兄2血>0,且根据(⑸，从而得到.=/•(/?)'©=k,R其中勺〉0是一个积分常数。由(18)不难得到径向变形函数的通解形式为11r(R)=k]R2/a+2k22其中k2>0也是一个积分常数。下面利用边界条件(7)和(8)确定积分常数人和心。由外边界条件(7)得k2=[(^-k{/a)A2]/2进一步地，将(13)代入到⑷