2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题8 函数与导数 第2讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程学案

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1、第2讲　小题考法——基本初等函数、函数与方程一、主干知识要记牢1．指数函数与对数函数的对比表解析式y＝ax(a＞0与a≠1)y＝logax(a＞0与a≠1)图象定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R单调性0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数两图象的对称性关于直线y＝x对称2．方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝

2、0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．二、易错易混要明了1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax>0；研究对数函数y＝logax(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数

3、图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．考点一　基本初等函数的图象与性质3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较．(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．1．(2018·南充三模)在同一坐标系中，函数y＝2－x与y＝－log2x的图象都正确的是(　A　)A　BC　D解析　因为y＝2－x

4、＝x，所以函数单调递减，排除B，D．y＝x与y＝－log2x＝x的图象关于y＝x轴对称．排除C．故选A．2．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　A　)A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数解析　因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－3x＋x＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，

5、则(　D　)A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z解析　令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1．则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝．∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y．又∵2x－5z＝－＝＝<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故选D．考点二　函数的零点1．判断函数零点个数的方法直接法直接求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函

6、数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．1．(2018·安阳模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2

7、x

8、f(x)－2的零点个数为(　B　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析　画出函数f(x)＝的图象如图，由g(x)＝2

9、x

10、f(x)－2＝0可得f(x)＝，则问题化为函数f(x)＝与函数y＝＝21－

11、x

12、的图象的交点

13、的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B．2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　C　)A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析　方法一　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C．方法二　函数f(x)＝ex＋x－2的零点，即函数y＝ex的图象与y＝－x＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y＝ex与直线y＝－x＋2的图象如图所示，由图可知选C．3．(2018·湖北联考)奇函

14、数f(x)是R上单调函数，g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有唯一零点，则a