2019年高中数学 3.4基本不等式：ab≤a＋b2（一）课时作业 新人教A版必修5

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1、2019年高中数学3.4基本不等式：ab≤a＋b2（一）课时作业新人教A版必修5课时目标1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．221．如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．a＋b2．若a，b都为正数，那么≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式2a＋b为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．23．基本不等式的常用推论a＋b222a＋b(1)ab≤2≤(a，b∈R)；211(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.xxba

2、ba(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.abab222(4)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．一、选择题22a＋ba＋b2ab1．已知a>0，b>0，则，ab，，中最小的是()22a＋b22a＋ba＋b2abA.B.abC.D.22a＋b答案D解析方法一特殊值法．22a＋ba＋b2ab82ab令a＝4，b＝2，则＝3，ab＝8，＝10，＝.∴最小．22a＋b3a＋b2ab22a＋ba2＋b22ab方法二＝，由≤ab≤≤，可知最小．a＋b1＋11＋122a＋babab1122．已知m＝a＋(a>2)

3、，n＝2x－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是()a－2A．m>nB．mn.3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()2222a＋ba＋bA．1≤ab≤B．ab<1<222222a＋ba＋bC．ab<<1D.>0，222222a＋ba＋b∴>1，∴ab<1<.22224．已知正数0

4、，则a＋b，2ab，2ab，a＋b，其中最大的一个是()22A．a＋bB．2abC．2abD．a＋b答案D22解析因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2ab，a＋b>2ab，所以，最大的只能是2222a＋b与a＋b之一．而a＋b－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0

5、2a＋ba＋ba＋b1∵>>0，∴>，2222221∴a＋b>.222222∵b－(a＋b)＝(b－b)－a＝b(1－b)－a222＝ab－a＝a(b－a)>0，∴b>a＋b，∴b最大．26．若不等式x＋ax＋1≥0对一切x∈(0，1]恒成立，则a的最小值为()5A．0B．－2C．－D．－32答案B2解析x＋ax＋1≥0在x∈(0，1]上恒成立1x＋2⇔ax≥－x－1⇔a≥－xmax.11x＋∵x＋≥2，∴－x≤－2，∴a≥－2.x二、填空题17．若a<1，则a＋有最______值，为________．a－1答案大－1解析∵a<

6、1，∴a－1<0，1a－1＋1∴－a－1＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，1－a11∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.a－1a－1258．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．xy答案2解析∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，252x∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．xyx2＋xy9．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．34答案3xyxy解析∵x>0，y>0且1＝＋≥2，3412xy∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．34x10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为

7、________．2x＋3x＋11，＋∞答案5x解析∵x>0，∴>0，易知a>0.2x＋3x＋12x＋3x＋11∴≥，xa11∴≤x＋＋3.ax11∵x>0，x＋＋3≥2x·＋3＝5(x＝1时取等号)，xx11∴≤5.∴a≥.a5三、解答题bccaab11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.abcbccaab证明∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．abcbccacaabbcab∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，abbcacbccaab＋＋三式相加得2abc≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋＋≥a＋b＋c.abc1

8、1n12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．a－bb－ca－c解∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.11n∵＋≥，a－bb－ca－ca－ca－c∴n≤＋.a－bb－c∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，a－b＋b－ca－b＋b－c∴n≤＋，a