2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用教学案北师大版选修4

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1、2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用教学案北师大版选修4利用不等式解决实际问题中的大小问题[精解详析]　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝，∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0，即t1

2、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)．(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；(3)设f(x)＝，现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问：用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．解：(1)f(0)＝1表示没有用水洗时，蔬菜

3、上的农药量将保持原样．(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是f(0)＝1，f(1)＝，在[0，＋∞)上f(x)单调递减，且02时，f1(a)>f2(a)；当a＝2时，f1(a)＝f2(a)；当02时，清洗两次后残留的农药量较少；当a＝2时，两种清洗方法具有相同的效果；当0

4、地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v1(v1＞0)，已知船在静水中的速度为v2(v2＞0)，试比较v1和v2的大小．解：设水流速度为v(v＞0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t＝＋＝∴平均速度v1＝＝.∵v1＞0，v2＞0，∴＝＝＝1－()2＜1.∴v1＜v2.利用平均值不等式解决实际问题中的最值问题　　[例2]　如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．[思路点拨]　本题考查平均值不等式在解决实际

5、问题中的最值方面的应用，同时考查应用意识，转化求解能力．解答此题需要通过具体问题列出目标函数，再利用平均值不等式求出函数的最值即可．[精解详析]　如图所示，设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0

6、<1)．则f(x)＝x2(1－x)＝·x·x·(2－2x)≤·3＝.当且仅当x＝2－2x，即x＝时，Vmax＝.故当正六棱柱容器的底面边长为时，最大容积为.利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x取值范围的制约．3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成

7、：可变部分与速度x(千米/时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(千米/时)的函数，指出定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bx2·＝S.故函数及其定义域为y＝S，x∈(0，c]；(2)由题知S，a，b，x都为正数，故有S≥2S，当且仅当＝bx，即x＝时上式等号成立；若≤c，则当x＝时，全程运输成本y最小；若＞c，当x∈(10，c]时，有S－S＝S＝(c－x)(a－bcx)，∵c－x≥0，a＞bc2，∴a

8、－bcx≥a－bc2＞0，∴S≥S，当且仅当x＝c时上式等号成立，即当x＝c时，