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《2019-2020年高中数学5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式同步测控苏教版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式同步测控苏教版选修同步测控我夯基，我达标1.y=的最大值是()A.B.C.3D.5解析:y=1×+2≤×.答案:B2.若x、y∈R+,x+y≤4,则下列不等式成立的是()A.≤B.≥1C.≥2D.≥1解析:∵x+y≤4,x、y∈R+,∴≥.A不成立.∵x+y≥2,∴4≥2.∴≤2.∴C不成立.∴00,∴+≥.∵x+y≤4,∴≥.∴≥4×=1.∴+≥1成立,即B成立.答案:B3.已知x、y、z∈R+,且x+y+z=1,则
2、x2+y2+z2的最小值是()A.1B.C.D.2解析:∵(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=1,∴x2+y2+z2≥,当且仅当x=y=z=时,取“=”.答案:B4.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.解析:设ai>0(i=1,2,…,n),则(a1+a2+…+an)(++…+)≥(+…+)2=n2.答案:C5.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析:由柯西不等式(a12+a22+…+an2
3、)(x12+x22+…+xn2)≥(a1x1+a2x2+…+anxn)2,得a1x1+a2x2+…+anxn≤1.答案:A6.已知a、b∈R+,ab=1,则(1+)(1+)的最小值为()A.4B.2C.1D.解析:(1+)(1+)≥(1+)2=4.答案:A7.已知x、y、z∈R+,x+y+z=1,则的最大值是________________.解析:∵(x+y+z)(1+1+1)≥()2,且x+y+z=1,∴≤.答案:8.若x>0,y>0且=1,则x+y的最小值为________________.解析:x+y=(+)(x+y)≥(×+×)2=16.答案:16我综
4、合，我发展9.若a>b>c,且+≥恒成立,则m的取值范围为_________________.解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0.∴不等式+≥恒成立,即m≤(+)(a-c)恒成立.∵(a-c)(+)=［(a-b)+(b-c)］(+)≥()2=4.∴m≤4.答案:m≤410.已知a2+b2=1且c5、,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:｜ac+bd｜≤1.分析:已知条件中a2+b2和c2+d2与所证的不等式中(ac+bd)之间的关系可用柯西不等式.证明:由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,及a2+b2=1,c2+d2=1,得(ac+bd)2≤1,即｜ac+bd｜≤1成立.12.比较A=1+++…+与的大小关系(n∈N*).解:∵A(1+++…+)=(1+)(1++…+)≥=n2,∴1+++…+≥.而1++…+≤++…+=,∴≥.∴≥=.∴A≥.13.△ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:(a2+b2+c2)()
6、≥36R2.分析:本题的左边为柯西不等式的结构,用柯西不等式证明.证明:∵(a2+b2+c2)()≥()2,而在△ABC中,=2R.∴=6R.∴(a2+b2+c2)()≥36R2.14.△ABC的三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc,r为三角形的内切圆半径,若ha+hb+hc=9r,试判断△ABC的形状.分析:三角形的高与面积和底边有关,而内切圆的半径也与面积有关,可将原三角形的分割为三个以r为高的小三角形.解:设△ABC的面积为S,则S=aha=bhb=chc.又∵S=r(a+b+c),∴2S=r(a+b+c).∴ha+hb+hc==r(a+b+c)(+
7、+).由柯西不等式(a+b+c)(++)≥［+］2=9,∴ha+hb+hc≥9r,当且仅当a=b=c时,取“=”.又∵ha+hb+hc=9r,∴此三角形为正三角形.我创新，我超越15.设a、b、c是互不相等的正数,求证:证明:∵(a+b+b+c+c+a)(+)≥()2=9,即2(a+b+c)(++)≥9,∵a、b、c为互不相等的正数,∴上式“=”取不到.∴++>.16.设x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1.求证:分析:可用柯西不等式的一般形式,注意“1”的变换.证明:∵(++…+)(n+1)=(++…+)(n+x1+x2+…+xn)=(++
8、…+)［(1+x1)+(1+x2)+…
