同济大学编高等数学第六版下册课后习题答案

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1、第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意是点以任何方式趋于;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题8－11.求下列函数表达式:(1)，求解：(2)，求解：2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:(1)解：(2)解：(3)解：3.求下列极限:(1)解：(2)解一：解二：(3)(4)解一：解二：(4)解一：解二：4.证明下列函数当时极限不存在:(1)解：(2)解：5.下列函数在何处是间断的?(1)解：(2)

2、解：第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设在的某一邻域有定义，则，.的几何意义为曲线在点处的切线对轴的斜率.在任意点处的偏导数、称为偏导函数，简称偏导数.求时，只需把视为常数，对求导即可.2.高阶偏导数的偏导数的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推.二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：，其中后两个称为混合偏导数.若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)

3、解：(6)解：(7)(8)解：(8)解：2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:（1），求解：（2），求解：3.求下列函数的高阶偏导数:(1)，求，，解：(2)，求，，，解：(3)，求，解：4.设，求和.解：5.设，求证解:6.设，证明证明:由轮换对称性,第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数在点处的全增量表示成则称在点可微，并称为在点的全微分，记作.2.可微的必要条件：若在可微，则（1）在处连续；（2）在处可偏导，且，从而.一般地，对于区域内可微函数，.3.可微的充分条件：若在的某邻域内可偏导，且偏导数在处连

4、续，则在可微。注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。习题8－31.求下列函数的全微分(1)(2)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:所以(6)解:2.求函数，当时的全微分.解:3.求函数，当时的全增量与全微分.解:4.研究函数在点处的可微性.解:由于，所以在点连续，又又所以所以在点处可微5.计算的近似值.解：令，则，再设则6.已知边长的矩形，如果边增加5cm，而边减少10cm，求这个矩形的对角线的长度变化的近似值.解：对角线长为，则，所以第四节多元复合函数的求导法则本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则

5、（链式法则）如下：1.设在可偏导，在相应点有连续偏导数，则在的偏导数为2.推广：(1)多个中间变量：设，则且(2)只有一个中间变量：设则且(3)只有一个自变量：设，则且习题8－41.求下列复合函数的一阶导数(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2.求下列复合函数的一阶偏导数(1)解：(2)解：3.求下列复合函数的一阶偏导数（是类函数）(1)解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：，，4.设且具有二阶连续偏导数，求解：5.已知，其中有二阶连续导数，求解：6.设，其中有连续二阶偏导数，求解：第五节隐函数的求导公式本节主要概念，定理，公式和重

6、要结论1.一个方程的情形（1）若方程确定隐函数，则.（2）若方程确定隐函数，则；.2.方程组的情形（1）若确定，，则，.（2）若确定，则，；，.习题8—51．求下列方程所确定的隐函数的一阶导数(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2．求下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数(1)解：(2)解：(3)解：，(4)解：3．求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数(1)设解：(2)设解：(3)设解：(4)设解：4．设，而是由方程所确定的隐函数，求解：又，所以5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数（1）设，求解：(2)设，求解：6.设，求解：又

7、所以7.设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续偏导数.试证明解：由，又所以第六节多元函数微分学的几何应用本节主要概念，定理，公式和重要结论1.空间曲线的切线与法平面设点，(1)参数方程情形：若，则切向量为；其中；切线方程为；法平面方程为.(2)一般方程情形：若，则切向量为；切线方程为；法平面方程为.2.空间曲面的切平面与法线设点.(1)隐式方程情形若，则法向量为；切平面为；法线为.(2)显式方程情形若，则法向量为，切平面为；法线为.(3)参数方程情形若，则法向量，切平面为；法线为.习题8—61．求曲线对应的点处的切线和法平面方程

8、.解：切线：法平面：2．求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程（1），点解：切平面：法线：（2），点解：切平面：即法线：3．求出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面.解：设曲线在点的切向量为平