2019-2020年高中数学 2.3.2 双曲线的简单性质教案 北师大选修1-1

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1、2019-2020年高中数学2.3.2双曲线的简单性质教案北师大选修1-1一、复习引入：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即当2﹥2时，轨迹是椭圆，当2=2时，轨迹是一条线段当2﹤2时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当2﹥2时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常

2、数的关系（符合勾股定理的结构），最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以二、讲解新课：1．范围、对称性由标准方程可得，当时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：特殊点：实轴：长为2a,a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令y=0得，故它与x轴有两个交

3、点，且x轴为双曲线的对称轴，所以与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a.在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没有交点。但Y轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线的两顶点，作y轴的平行线，经过作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在

4、直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线分析：要证明直线（）是双曲线的渐近线，即要证明随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜但因｜MQ｜不好直接求得，因此又把问题转化为求｜MN｜最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质＝（）4．等轴双曲线a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐

5、近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线三、讲解范例：例1求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a＝1，虚半

6、轴长b＝2．顶点坐标是（－1，0），（1，0）焦点的坐标是(－，0)，(，0)．渐近线方程为，即例2求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可解：设与共渐近线且过的双曲线的方程为则，从而有所求双曲线的方程为四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是答案：A2.过点(3,0)的直线与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线共有(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条答案：C3.若方程=1表示双曲线，其中a为负

7、常数，则k的取值范围是()(A)(,-)(B)(,-)(C)(-,)(D)(-∞,)∪(-,+∞)答案：B4.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)(B)(C)(D)答案：A5.与双曲线有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（）(A)(B)(C)(D)答案：D6.一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0)、，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是（）(A)(0，5)，(B)(0，(C)(0，(D)(0，答案：A7.双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4

8、)，则k等于()(A)-3/32(B)3/32(C)-3/16(D)3/16答案：A五、小结：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是或写成六、课后作业：七、板书