2019-2020年高考数学大一轮复习 7.4不等式的综合应用试题 理 苏教版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习7.4不等式的综合应用试题理苏教版一、填空题1．现要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．解析　设鱼池的长、宽分别为x，，所以S＝(x＋6)·＝432＋48＋＋8x≥480＋288＝768，仅当8x＝，即x＝18，＝24时等号成立．答案　24m　18m2．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．解析　由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2≥2＋2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．答案　43．已知f(

2、x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，若f(x)恒为正值，则k的取值范围是________．解析　∵f(x)＞0，即32x－(k＋1)·3x＋2＞0，∴k＋1＜＝3x＋.∵x∈R，∴3x＞0，∴＝3x＋≥2，当且仅当3x＝时取等号．从而k＜－1＋2.答案　(－∞，－1＋2)4．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析　由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5q＋2a5，又a5≠0，q＞0，所以q2＝q＋2，解为q＝2.于是由＝4a1，得m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)＝

3、≥(5＋4)＝，当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时等号成立，故min＝.答案　5．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析　由题意得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，得x＝∈，故f(x)的最小值为25，此时x＝.答案　25　6．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．解析　令f(x)＝≥3(x∈N*)，则(3－a)x≤x2＋8，即3－a≤x＋

4、.∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，但由于x∈N*，∴当x＝3时，x＋取最小值3＋，于是3－a≤3＋，即a≥－.答案　7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________．解析　由ax＝by＝3得：x＝loga3，y＝logb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”号成立，则＋的最大值为1.答案　18．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．解析　由题可得a＞0，c

5、＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1.所以a＋c≥2＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号．所以＋＝ac×＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2，当且仅当a＝c＝1时，min＝22＋2－2＝4.答案　49．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析　当a＝时，2x＋＝2x＋≥1，当且仅当x＝时取“＝”，故充分性成立，当2x＋≥1对x∈R＋恒成立时，a≥(x－2x2)max得a≥，故必要性不成立．答案　充分不必要10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与

6、仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站________km处．解析　依题意，设y1＝，y2＝k2×d，则有2＝，8＝k2×10，即有k1＝20，k2＝，从而这两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋d≥2＝8万元，当且仅当即d＝5km时，有这两项费用之和最小．答案　5二、解答题11．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sinx)≤f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数

7、m的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪　不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．解　假设实数m存在，依题意，可得即因为sinx的最小值为－1，且－(sinx－)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m＝－或≤m≤3.所以实数m的取值范围是∪.探究提高　不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.　12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植

8、的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a>0)万元．(1)在动