2019_2020学年高中数学第2章数列章末复习课讲义苏教版必修5

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1、第2章数列等差(比)数列的基本运算【例1】　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解]　(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有解得所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.

2、在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.1．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．[解]　(1)因为数

3、列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，即a＋3a1－10<0，解得－5

4、或an形式求解．[解]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式．∴an＝(2)∵Sn＝3an＋1，①∴n≥2时，Sn－1＝3an.②①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an，∴3an＋1＝4an，∴＝，又a2＝S1＝a1＝.∴n≥2时，an＝·，不适合n＝1.∴an＝数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和

5、Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式,求解.(3)累加或累乘法,形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式.2．设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项公式．[解]　∵an＋1－an＋an＋1·an＝0，∴－＝1.又＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列．故＝n.∴an＝.等差(比)数列的判定【例3】　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1

6、＝4an＋2(n∈N*)．(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；(2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列．思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．[证明]　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.＝＝＝＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以－＝3.所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2

7、，所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.等差数列、等比数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列.(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；aoal(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列.(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，

8、n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列.提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求证：数列{cn}是等比数列．[证明]　当n＝1时，a1＝S1.由