谓词逻辑 谓词逻辑

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1、第二章谓词逻辑问题的提出：一个原子命题只用一个字母表示，而不再对命题中的句子成分细分。所有的人都是要死的；苏格拉底是人；所以，苏格拉底是要死的。令P：所有的人都是要死的；Q：苏格拉底是人；R：苏格拉底是要死的。则原问题符号化为：P∧Q⇒R。2-1基本概念2-1.1个体与个体变元定义：能够独立存在的事物，称之为个体，也称之为客体。它可以是具体的，也可以是抽象的事物。通常用小写英文字母a、b、c、...表示。定义：用小写英文字母x、y、z...表示任何个体，则称这些字母为个体变元。2-1.2谓词定义：用以刻画个体的性质或者个体之间关系的即是谓词。例如S(x)

2、:表示x是大学生。一元谓词G(x,y)：表示x>y。二元谓词B(x,y,z)：表示x在y与z之间。三元谓词一般地P(x1,x2,…,xn)是n元谓词。2-1.3命题函数谓词相当于一个函数，称之为命题函数。定义：n元谓词P(x1,x2,…,xn)称之为简单命题函数。规定：当命题函数P(x1,x2,…,xn)中n=0时，即0元谓词，表示不含有客体变元的谓词，它本身就是一个命题变元。复合命题函数定义：将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来，构成的表达式，称之为复合命题函数。简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数。例：给定简单命题函数：A(x)：x身体好，B

3、(x)：x学习好，C(x)：x工作好，则复合命题函数A(x)→(B(x)∧C(x))表示2-1.4论域(个体域)设N(x)表示“x是负数”，I(x)表示“x是整数”，则N(x)∧I(x)表示设P(x)表示“x是大学生”。论域(个体域)定义：在命题函数中命题变元的取值范围，称之为论域，也称之为个体域。例如S(x):x是大学生，个体域是:人类。G(x,y)：x>y，个体域是:实数。定义：由所有论域构成的论域，称之为全总个体域。约定:对于一个命题函数，如果没有给定个体域，则假定该个体域是全总个体域。个体函数例：张华的父亲是教师。设P(x)：表示x是教师。

4、a：表示张华的父亲。则原命题符号化为：设f(x):表示x的父亲。a：表示张华。则原命题符号化为：f(x)称为个体函数（或函词）。注意区分个体函数与谓词间的区别：个体函数是论域到论域的映射，g:N→N，如果指定的个体a∈N，则g(a)∈N。谓词是从个体域到{T,F}的映射，即谓词E(x)可以看成映射E:N→{T,F}，如果指定个体a∈N，则E(a)的真值∈{T,F}。2-1.5量词例如：有些人是大学生。所有事物都是发展变化的。任何一个有理数都可以用分数形式表示。定义：在命题中表示对个体数量化的词，称之为量词。存在量词与全称量词(1).存在量词：记作，表示

5、“有些”、“有一个”、“某些”、“至少一个”等。∃xF(x):表示存在着客体域中的客体具有性质F。当且仅当论域中至少有一个x0使得F(x0)为T时，∃xF(x)为真。(2).全称量词：记作，表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。∀xF(x):表示客体域里所有的客体都有性质F。当且仅当对论域中所有的x来说，F(x)均为T时，∀xF(x)为真。定义：量词后边要有一个个体变元，指明对哪个个体变元量化，称此客体变元是量词后的指导变元。2-2谓词公式及命题符号化原子谓词公式定义：称n元谓词P(x1,x2,...,xn)为原子谓

6、词公式。例如P、Q(x)、A(x,f(x))、B(x,y,a)都是原子谓词公式。2-2.3谓词合式公式(WFF)(WellFormedformulas)定义：谓词合式公式递归定义如下：1.原子谓词公式是合式公式。2.如果A是合式公式，则A也是合式公式。3.如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。4.如果A是合式公式，x是Ａ中的任何个体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。判断下面哪些符号串是合式公式：P、(P→Q)、

7、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x)、xyP(x)、P(x)∧Q(x)x为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。2-2.4量词的作用域(辖域)定义：在谓词公式中，量词的作用范围称之为量词的作用域，也叫量词的辖域。例如xA(x)中x的作用域为A(x).x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中x的作用域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))y的作用域为R(x,y)。xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)x的辖域z的辖域y的辖域2-2.5自由变元与约束

8、变元定义：如果个体变元x在x或者x的作用域内，则称x在此作用域内约束出现，并