2019-2020年北师大版必修5高中数学第二章《三角形中的有关问题》word典例例题素材

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1、2019-2020年北师大版必修5高中数学第二章《三角形中的有关问题》word典例例题素材1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．⑴已知三边，求三角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．3．三角形的面积公式：典型例题例1.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c．解A1＝60°C1＝75°c

2、1＝A2＝120°C2＝15°c2＝变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A．B．C．D．解：B提示：利用余弦定理（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.B.C.D.解：C提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC中，已知，，则的值为（）ABC或D解：A提示:在△ABC中，由知角B为锐角（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是．解：提示：由可得（5）在△ABC

3、中，=．解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得例2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：sinA＝2sinBcosCsin(B＋C)＝2sinBcosCsin(B－C)＝0B＝Csin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2∠A＝90°∴△ABC是等腰直角三角形。变式训练2：在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c

4、）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.例3.已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，所以sinB(sinA－cosA)＝0∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosA＝sinA，由A∈(0,π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sin

5、B＋cos2(－B)＝0cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝∴A＝B＝C＝变式训练3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为.（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2（－）=（a－b）.又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC

6、==.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.例4.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()．(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为

7、的函数；(2)求y＝的最大值与最小值．解(1)AG＝，∠由正弦定理得，ANCBDMG（，(2)∵∴当当变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且（1）求的值；（2）若，求的最大值；解：（1）因为，故（2）又，当且仅当时，，故的最大值是