北师大版必修5高中数学第二章《应用举例2》word典型例题素材

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1、应用举例利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：一、测量问题例1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度．分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定．解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m．点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”．二、遇

2、险问题例2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北．若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上．在△ABC中，可知AB=30×0．5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7．5．这表明航线离灯塔的距离为7．5海里，而灯塔周

3、围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险．点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．三、追击问题例3、如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？解析：设用th，甲船能

4、追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β．∴α=180°－45°－15°=120°．根据余弦定理，，，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）∴AC=28×=21nmile，BC=20×=15nmile．根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，∴甲船沿南偏东－arcsin的方向用h可以追上乙船．点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的∠ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由

5、于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关．这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值．四、最值问题例4、某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为，半径为a的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？分析：从实际出发，尽可能使面积最大，有两种裁剪方法．一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，分别计算出这两种情况下的最大值，再比较结果的出最佳方案．解：方案一，如图1，矩形有两个顶点在半径OA上，设∠AOP=，则PM=a·sin

6、，∵扇形中心角为，∴∠PQO=，由正弦定理，得：=，即PQ=·a·sin（－），∴矩形的MPQR的面积为：S=PM·PQ=·a·sin·sin（－）=·a[cos（－）－cos]≤·a·（1－）=a，当=时，cos（－）=1，S取得最大值a．方案二，如图2，矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA、OB上，设∠AOM=，∠MRA=×=，∠MRO=，由正弦定理，得：=，即RM=2a·sin，又=，∴OR=2a·sin（－），∴矩形的MPQR的面积为：S=MR·PQ=4a·sin·sin（－）=2a·[cos（－）－cos]≤2

7、a·（1－）=（2－）a．即在此情况下，∠AOM==时，可求出M点，然后作出MPQR面积为最大．由于S－S=a－（2－）a=（－12）＞0，所以第一种方案能使裁出的矩形面积最大，即∠AOP==，使P取在AB弧中点，分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR，即为最大矩形．