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《2019-2020年高中数学2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离例题与探究新人教B版必修》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离例题与探究新人教B版必修典题精讲例1(经典回放)在△ABC中,BC边的中点M(,),直线AC的方程为x+1=0,直线AB的方程为x+y-1=0,求直线BC的方程.思路分析:确定直线的方程需要两个条件,本题已经给出直线BC经过M点,∴只要求得点B(或C)的坐标或直线BC的斜率就可以了.图2-2-(3,4)-1解法一:利用两点式,参看图2-2-(3,4)-1.设B(a,1-a)、C(-1,b),则∴∴B(-
2、4,5)、C(-1,-4).∴BC的方程为,即3x+y+7=0.解法二:利用点斜式.设直线BC的方程为y-=k(x+)(k存在).由得B点横坐标xB=(k存在).又点C横坐标xC=-1,∴由中点坐标公式得-1=-5,解得k=-3.∴直线BC的方程为3x+y+7=0.解法三:利用两点式.作MD∥AC交AB于D,则点D(-,)为边AB的中点,∵A(-1,2),∴B(-4,5).∴由点M、B的坐标可得直线BC的方程为3x+y+7=0.绿色通道:灵活运用直线方程的各种形式,常常要和平面几何的有关知识相结合
3、.黑色陷阱:一定要注意直线方程各种形式的应用条件.变式训练1l过点P(2,3),且与两坐标轴的截距相等,求直线l的方程.解法一:利用点斜式(本题斜率存在且不为零).设直线l的方程为y-3=k(x-2).令x=0,得在y轴上的截距b=-2k+3;令y=0,得在x轴上的截距a=2(k≠0).由两坐标轴上截距相等,得-2k+3=2,即k=-1或.∴l的方程为x+y-5=0或3x-2y=0.解法二:利用一般式.设直线l的方程为x+y+C=0或kx-y=0,由于点P(2,3)在l上,得2+3+C=0或2k-
4、3=0,故C=-5或k=.∴l的方程为x+y-5=0或3x-2y=0.例2已知直线l:3x-y-1=0,在l上求一点P,使得(1)P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.图2-2-(3,4)-2思路分析:利用三角形的性质(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)以及对称性质.解:(1)如图2-2-(3,4)-2中,设点B关于l的对称点为B′(a,b),则l是BB′的垂直平分线.∴kBB′=.∴即点B′的坐标为(3,3).于是AB′的方程
5、为,即2x+y-9=0.解方程组得即l与AB′的交点坐标为(2,5).由平面几何知识知,对l上的任意点P′,有
6、
7、P′A
8、-
9、P′B
10、
11、=
12、
13、P′A
14、-
15、P′B′
16、
17、≤
18、
19、PA
20、-
21、PB′
22、
23、=
24、B′A
25、.图2-2-(3,4)-3当且仅当P′、B′、A共线时取等号.故可知所求P点坐标为(2,5).(2)如图2-2-(3,4)-3中,设C点关于l的对称点为C′,可求出C′的坐标为(,).于是可得AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0.由AC′和l的方程联立,解得交点的坐标为P().绿色通道:
26、许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决.求解解析几何问题时常会碰到计算量大的问题,简化运算量的技巧是学习解析几何的一项基本技能.当直线满足某一规律时,直线上的点也满足这个规律,因此许多直线的问题是从分析直线上的某点入手的.变式训练2已知A(4,-3)、B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使
27、PA
28、=
29、PB
30、,且点P到直线l的距离等于2.解法一:设点P(x,y),
31、PA
32、=
33、PB
34、,∴.①点P到直线l的距离等于2,∴.②由①②得P(1,-4)或().解法二:设点P(x,
35、y),
36、PA
37、=
38、PB
39、,∴点P在线段AB的垂直平分线上.AB的垂直平分线的方程是y=x-5,∴设点P(x,x-5).点P到直线l的距离等于2,∴由上式得到x=1或,∴P(1,-4)或(,).例3已知n条直线:x-y+C1=0(C1=),x-y+C2=0,x-y+C3=0,……x-y+Cn=0(其中C1<C2<C3<…<Cn).这n条平行线中,每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4,…,n.(1)求Cn;(2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积;(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn
40、=0及x轴、y轴围成的图形的面积.思路分析:(1)由两条平行线间的距离公式,依次写出C2,C3,…,Cn,然后找出它们的共同的规律,利用逐项相加的方法把中间项C2,C3,…,Cn-1消去,即可得到Cn.在解决了第(1)问后,后面的两问便容易解决了.解:(1)对任意的两条相邻的平行线Ci、Ci+1间的距离记为di(i=1,2,…,n-1),根据两平行线间的距离公式有di=,i=1,2,…,n-1.此即di=Ci+1-Ci,i=1,2,…,n-1.分别令i=1,2,…,n-1,再把所得