【北京卷】2019年全国统一高考数学（理）试题

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1、普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合，，则（A）（B）（C）（D）2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．A．B．C．D．4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个

2、单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（）．A．B．C．D．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）．A．B．C．D．6.设均为单位向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（A）（B）2（C）3（D）48.设集合，则对任意实数，对任意实数，当且仅当时，当且仅当时，二.填空（9）设是等差数列，且，，则的通项公式为。（10）在极坐标系中，直线与圆

3、相切，则。（11）设函数。若对任意的实数都成立，则的最小值为。（12）若满足，则的最小值是。（13）能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是。（14）已知椭圆，双曲线。若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为；双曲线的离心率为。三．解答题（15）（本小题13分）在，，，。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求边上的高。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面,,,,分别为,,,的中点，,.（I）求证：平面;（II）求二面角的余弦值；（III）证明：直线与平面相交.（16）（本小题12分）电影

4、公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数好评率好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取部，估计恰有部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第类电影得到人们喜欢，“”表示第类电影没有得到人们喜欢（）.写出方差的大小关系（18）（本小题13分）设函数，（1）若曲线在点处的切线方

5、程与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．（19）（本小题14分）已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，，求证：为定值．20.（本小题14分）设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，记当时，若，求和的值；当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；给定不小于的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.答案：一.选择题1.【答案】A2

6、.【答案】D，则，故的共轭复数在第四象限，故选3.【答案】【解析】根据程序框图可知，开始，，执行，，此时不成立，循环，，，此时成立，结束，输出．故选．4.【答案】【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以为首项，为公比的等比数列，故第八个单音的频率为．故选．5.【答案】【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，在正方体中，,,均为直角三角形，,,，故不是直角三角形．故选．6.【答案】C【解析】充分性：，，又，可得，故.必要性：，故，所以，所以．7.【答案】【解析】：，所以点的轨迹是圆。直线恒过点。转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以

7、答案为3.8.【答案】：D【解析】：若，则。则当时，；当时，选D二.填空题9．答案：解析：由题知，设等差数列公差为，所以：，即，解得，所以。10．答案：解析：直线方程转化为即圆的方程转化为即、直线与圆相切解得11.答案：解析：由题知：，即，所以，解得:，，所以时，。12．答案：3解析：将不等式转换成线性规划，即目标函数如右图在处取最小值13.答案：，解析：函数需要满足在上的最小值为，并且在上不单调。选取开口向下，对称轴在上的二次函数均可，其余正确答案也正确。14.【答案】：，【解析】：设正六边形边长为；根据椭圆的定义，，双曲线的渐近线方程为，，所以。

8、三.解答题15.【解析】（Ⅰ），，所以为钝角，；由正弦定理：，所以，所以；或者；又，为钝角，所以为锐角，所以