专题二 三角函数与平面向量的综合应用

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1、专题二　三角函数与平面向量的综合应用一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于(　　)A.B．－C．－7D．72．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)A．＋＋＝0B.－＋＝0C．＋－＝0D.－－＝03．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是(　　)A.B．πC．2πD．4π4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝cs

2、inC，则角A，B的大小分别为(　　)A.，B.，C.，D.，5.已知向量＝（2，0），向量=(2,2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)A.B.C.D.6．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是(　　)A．[－6,1]B．[4,8]C．(－6,1)D．[－1,6]7．已知向量a＝(2cosφ，2sinφ)，φ∈，b＝(0，－1)，则a与b的夹角为(　　)A.π－φB.＋φC．φ－D．φ二、填空题(每小题5分，共25分)8．在直角坐标系xOy中

3、，已知点A(－1,2)，B(2cosx，－2cos2x)，C(cosx,1)，其中x∈[0，π]，若⊥，则x的值为______．9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P是BC上的一个动点，当取得最小值时，tan∠DPA的值为________．10．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．11．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则

4、2a－b

5、的最大值、最小值分别是_______

6、___．12．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．三、解答题(共40分)13．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.(1)判断△ABC的形状；(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值．14．(14分)已知函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx＋1，x∈R.(1)求函数f(x)

7、的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的单调区间和最大值与最小值．15．(14分)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．答案1.A2.A3.B4.C5.D6.A7.A8．或9.10.11.4、012.1613.解(1)因为lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0，所以＝≠1，所以sin2A＝sin2B且a≠b.因为A，B∈(0，π)且A≠B，所以2A＝π－2B，即A＋B＝且A≠B.所以△ABC是非等腰的

8、直角三角形．(2)由m⊥n，得m·n＝0.所以2a2－3b2＝0.①由(m＋n)·(n－m)＝14，得n2－m2＝14，所以a2＋9b2－4a2－b2＝14，即－3a2＋8b2＝14.②联立①②，解得a＝，b＝2.所以c＝＝.故所求的a，b，c的值分别为，2，.14.解(1)f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝sin.因此，函数f(x)的最小正周期为π.(2)因为≤x≤，所以0≤2x－≤.又因为y＝sinx在内单调递增，在上单调递减，所以由0≤2x－≤，得≤x≤，由≤2x－≤，得≤x≤.所以f(x)的增

9、区间为，减区间为.又f＝0，f＝，f＝－1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.15.解(1)由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，即2sin＝1，所以sin＝，由A为锐角得A－＝，所以A＝.(2)由(1)知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值；当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3.所以所求函数f(x)的值域是