高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第4讲推理与证明专题突破讲义文

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1、第4讲　推理与证明1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．2．直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．热点一　归纳推理1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．2．归纳推理的思维过程如下：→→例1　(1)(2017·日照市模拟)给出下列等式：＝2cos，＝2cos，＝2cos，…，请从中归纳出第n(n∈N*)个等式：＝________.n个根号答案　2co

2、s解析　因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足，所以＝2cos.(2)(2017届云南曲靖一中月考)如图是一个三角形数阵：1　　　　　　按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为____________．答案　解析　前15行共有＝120⇒所求为a122＝＝.思维升华　归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．跟踪演练1　

3、(1)(2017·贵州省贵阳市第一中学适应性考试)观察下列不等式：<，＋<4，＋＋<，＋＋＋<12，…，照此规律，第n个不等式为________________________．答案　＋＋＋…＋<解析　由归纳推理可得，第n个不等式为＋＋＋…＋<.(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．答案　503　解析　按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2

4、)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.热点二　类比推理1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．2．类比推理的思维过程如下：→→例2　(1)已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r；四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R.类比三角形的面积可得四

5、面体的体积为(　　)A．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)RB．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)RC．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)RD．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R答案　B解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)．故选B.(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1

6、(a>0，b>0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为__________________．答案　－＝1解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为－＝1，－＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以－＝1，－＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线－＝1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.思维升华　类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列

7、的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．跟踪演练2　(1)(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有＝；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________.答案　解析　由题设可得＝＝＝＝(其中θ是射线PL与平面PAB所成的角)．(2)已知双曲正弦函数shx＝和双曲余弦函数chx＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，

8、写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________________________________．答案　ch(