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1、《高等数学》教案23ChapVI多元函数微积分学在前面各章中，讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数.但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系.由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题.本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学.讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.§1.空间解析几何本节重点：二元函数的极限本
2、节难点：二元函数的极限本节内容：一、空间直角坐标系二、空间两点距离公式空间中两点间的距离公式.特别是任意点到原点的距离为.三、空间曲面及其方程空间曲面研究的两个基本问题是:已知曲线上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程；已知曲面的方程，研究去面的几何形状.四、柱面五、平面平面的一般方程参考课时：25+5多元函数是一元函数的推广，基本方法：化多元函数问题为一元函数问题左手坐标系，右手坐标系一二三四n维空间《高等数学》教案23平面的截距式方程，六、常用二次曲面1.椭球面（）球面，2．椭圆抛物面（与同号）3.双曲抛物面（与同号）4.单叶双曲面5.
3、双叶双曲面6.二次锥面例1设点在轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标.例2建立球心在点、半径为的球面的方程.《高等数学》教案23例3方程表示怎样的例4方程在空间中表示怎样的曲面？例5求通过轴和点的平面方程.作业：235习题6-1《高等数学》教案23§2.多元函数的基本概念本节重点：多元函数的概念与连续性.本节难点：二元函数的极限本节内容：一、邻域二、平面区域的概念三、聚点与孤立点四、维空间的概念五、多元函数的概念六、二元函数的图形七、二元函数的极限八、n元函数的极限九、二元函数的连续性十、二元初等函数十一、n元函数的连续性十二、
4、有界闭区域上连续函数的性质例1求二元函数的定义域.例2已知函数求.例3求极限,.例4求极限,,.例5证明,,不存在.例6求极限,.例7讨论二元函数二元函数的几何意义《高等数学》教案23在处的连续性.例8讨论二元函数的连续性.例9设求例10若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时,函数都趋向于A,能否断定作业：P241习题6-2《高等数学》教案23§3.偏导数本节重点：偏导数的运算.本节难点：偏导数的概念，高阶偏导数.本节内容：一、偏导数的定义、有关偏导数的几点说明1.对一元函数而言，导数可看作函数的微分与自变量的微分的商.但偏导数的记号是一个整体
5、.2.与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.3.在一元函数微分学中，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.三、偏导数的几何意义四、高阶偏导数五、混合偏导数相等的条件Th如果及连续,则.例1求在点(1,2)处的偏导数.例2设求证.例3求三元函数的偏导数.例4求的偏导数.多因素分析化多元函数问题为一元函数问题利用一元函数研究多元函数偏导(函)数《高等数学》教案23例5证明函数的偏导数存在，但在点不连续.例6设,求例7设求二阶偏导数.例8验证
6、函数满足方程.例9求的二阶偏导数.例10证明函数满足拉普拉斯方程,其中.例11设,试求及.例12若函数在点连续,能否断定在该点的偏导数必定存在?例13设问与是否存在?例14设试求及作业：P246习题6-3《高等数学》教案23§4.全微分及其应用本节重点：全微分的概念与计算.本节难点：可微的充分条件.本节内容：一、偏增量与全增量二、全微分的定义三、可微的必要条件Th1如果函数在点处可微,则函数在该点的偏导数必存在,.四、可微的充分条件Th2设在点处连续,则在该点处可微.五、多元函数连续、可(偏)导、可微的关系六、全微分在近似计算中的应用七、绝
7、对误差与相对误差(*)例1求函数的全微分.例2计算函数在点(2,1)处的全微分.例3求函数的全微分.例4求函数的偏导数和全微分.例5计算的近似值.例6函数在点(0,0)处是否可微?可推广到n元函数用集合图示与的区别《高等数学》教案23例7设求.例8(*)形盒的边长为75cm、60cm以及40cm，且可能的最大测量误差为0.2cm.试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.例9(*)测定重力加速度的公式是.现测得、.问由于测定与的误差而引起的绝对误差和相对误差各为多少?作业：P251习题6-4§5.复合函数微分法本节重点：
8、复合函数的偏导数计算.《高等数学》教案23本节难点：链式法则.本节内容：一、链式法则(1)二、链式法则(2)，.三、链式法则(3),.四、一阶全微分形式的不变性例1设而，求导数.
