2019_2020学年高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式学案北师大版

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1、1.1　简单形式的柯西不等式1.2　一般形式的柯西不等式学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式．(重点、易混点)2.理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程．(重点难点)3.能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明．(难点)教材整理1　简单形式的柯西不等式阅读教材P27～P28，完成下列问题．1．定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则

2、α·β

3、≤

4、α

5、

6、β

7、，当且仅当β是

8、零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式.(　　)(2)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数.(　　)(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意实数.(　　)[解析]　柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成()2，()2，()2，()2，所以是正确的，(3)正确．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√教材整理2　一般形式的柯西不等式阅读教材P

9、29～P30“练习”以上部分，完成下列问题．1．定理2设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．2．推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？[解]　不可以．若bi＝0而ai

10、≠0，则k不存在．利用柯西不等式证明不等式【例1】　(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：

11、ax＋by

12、≤1；(2)设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．[精彩点拨]　本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力．解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将，，增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用．[自主解答]　(1)

13、ax＋by

14、＝≤＝1.(2)由柯西不等式得：·≥a＋b，即≥a＋b.同理：≥b＋c，≥a＋c.将上面三个同向不等式相加得：(＋＋)≥2(a＋b＋c)，所以＋＋≥(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证

15、题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥(＋)2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a＝1×a)变形等.1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.[证明]　由柯西不等式[()2＋()2＋()2]≥.于是(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，即＋＋≥a＋b＋c.运用柯西不等式求参数范围【例2】　已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨]　“恒成立”问题需求＋＋的最大值，

16、设法应用柯西不等式求最值．[自主解答]　＋＋≤＋＋＝≤＝.故参数λ的取值范围是.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围．[解]　由柯西不等式得，(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2].利用柯西不等式求最值[探究问题]1．柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)

17、≥(ac＋bd)2是如何证明的？[提示]　要证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，只要证a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2，即证b2c2＋a2d2≥2abcd，只要证(bc－ad)2≥0.因为上式显然成立，故(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.2．根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；(2)·≥

18、ac＋bd

19、(a，b，c，d∈R)；(3)