高考数学第三章导数及其应用3第3讲导数与函数的极值、最值练习理（含解析）

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1、第3讲导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．函数y＝在[0，2]上的最大值是(　　)A.　　　　　　　　　　B.C．0D.解析：选A.易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1＜x≤2，所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是y

2、x＝1＝，故选A.2．函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则a的值为(　　)A．－1B．0C．1D．e解析：选C.f′(x)＝aex－cosx，若函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝

3、0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.3．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x等于(　　)A.B.C.D.解析：选C.函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.4．已知函数f(x)＝x3＋

4、3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　)A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]解析：选D.由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.5．(2019·河南郑州质检)函数f(x)＝

5、x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为(　　)A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝－3或a＝－4，b＝11C．a＝－4，b＝11D．以上都不对解析：选C.由题意，f′(x)＝3x2－2ax－b，则f′(1)＝0，即2a＋b＝3.①f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b＝9.②联立①②，解得(有极值)或(舍去，无极值)．6．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为________．解析：x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2

6、是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2，则由3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2，2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.答案：187．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________．解析：因为f′(x)＝3(x2－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值点，不符合题意；当a>0时，

7、令f′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1≤a<4.答案：[1，4)8．(2019·湖南郴州高三模拟)已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为______．解析：先求出x＞0时，f(x)＝－1的最小值．当x＞0时，f′(x)＝，所以x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，所以x＝1时，函数取得极

8、小值即最小值，为e－1，所以由已知条件得h(x)的最大值为1－e.答案：1－e9．(2019·兰州市诊断考试)已知函数f(x)＝x3－(a2＋a＋2)x2＋a2(a＋2)x，a∈R.(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)求函数y＝f(x)的极值点．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x3－x2＋x，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数f(x)是R上的增函数，单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为f′(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)＝(x－a2)·[x－(a＋2)]，①

9、当a＝－1或a＝2时，a2＝a＋2，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)为增函数，无极值点．②当a＜－1或a＞2时，a2＞a＋2，可得当x∈(－∞，a＋2)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈(a＋2，a2)时