2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 (2)

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1、2.3.1直线与平面垂直的判定[课时作业][A组　基础巩固]1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(　　)A．①③　　B．②　　　C．②④　　　D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．答案：A2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是(　　)A．5B．6C．7D．8解析：题图中直角三角形有△ABC，△ADC，△A

2、DB，△PAD，△PAC，△PAB，△PDC，△PDB.答案：D3.如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为(　　)A．75°B．60°C．45°D．30°解析：SO⊥平面ABCD，则∠SAC就是侧棱与底面所成的角，在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，∴∠SAO＝45°.答案：C4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面A

3、OC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案：C5．已知P是△ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点5P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的(　　)A．内心B．外心C．重心D．中心解析：如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，又因为∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以OD＝OE＝OF，因为PO⊥AB，P

4、D⊥AB，且PD∩PO＝P.所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.同理可证得OF⊥BC，OE⊥AC.又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为△ABC的内心，故选A.答案：A6．在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是________．解析：画出三棱锥(图略)，将OM与平面ABC所成的角放在直角三角形OMC中求解，易知tan∠OMC＝＝＝.答案：7．已知a，b，c是三条直线，α是平面．若c⊥a，c⊥b，a⊂α，b⊂α，且________(填上

5、一个条件即可)，则有c⊥α.解析：由直线与平面垂直的判定定理知，若c⊥α，需c垂直平面α内的两条相交直线．答案：a∩b＝A8.如图所示，在正三棱锥ABCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为________．解析：因为三棱锥ABCD为正三棱锥，所以可证AB⊥CD.又EF⊥CF，所以AB⊥CF，所以AB⊥平面ACD，故可知直线BD与平面ACD所成的角为∠BDA＝45°.答案：45°9.如图，在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为N、M.求证：MN⊥SC.证明：∵SA⊥平面AB

6、C，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.∵∠B＝90°，即AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∵AN⊂平面SAB，∴BC⊥AN.又∵AN⊥SB，SB∩BC＝B，∴AN⊥平面SBC.∵SC⊂平面SBC.∴AN⊥SC.5又∵AM⊥SC，AM∩AN＝A，∴SC⊥平面AMN.∵MN⊂平面AMN，∴SC⊥MN.10.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小．解析：(1)证明：∵BD是底面圆的直径，∴CD⊥BC.又AB⊥

7、平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC.(2)取AC的中点E，连接DE(图略)，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，∴直线BD与面ACD所成的角为∠BDE.而BE⊥面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝2，BE＝，∴sin∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°.[B组　能力提升]1.如图所示，在正四棱锥SABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面

8、△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可