资源描述：
《胡锦海论文初稿》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第一章绪论1.1研究综述微分方程是反映客观现实世界中量与量的变化关系，它是自变量、未知函数及其导数的关系式，微分方程作为分析的一个重要分支在实际的应用过程当中发挥着重要作用•但是针对微分方程的解法方法众多，在研究一阶常微分方程也没有通用的初等解法，所以在求解过程中如何快速，准确的求出通解就成了必须要去解决的问题，而积分因子是一种很好的方法，所谓积分因子法就是需要合适的函数乘以方程M(x,y)dx+N(x,y)dy二0俩边将非恰当微分方程转换为恰当微分方程，恰当微分方程往往是比较容易求出通解的.这种方法之所以能够在各种求解方法中脱颖而出是因为它可以解决很多类型的一阶微分方程，
2、对于二阶方程同样也可以，但是寻找积分因子的过程是因方程的类型而不同的有些积分因子甚至通过观察法便可求出，而有些积分因子要经过一些复杂的推导过程去求解在这个过程当中会用到很多技巧和一些数学思想，针对方程M(x,y)dx+N(x,y)dy二0—般教材上仅给出了关于x和y的积分因子的充要条件,介绍了用熟记简单的二元函数全微分公式、用分项组合的方法求解微分方程的通解，但这对于类型众多的微分方程来说是远远不够的，因此就需要用过学习掌握更多类型的积分因子以及一些解题技巧，如观察法、恒等变形、变量替换、待定系数等以及利用性质和结论去求解微分方程.在确定了积分因子以后也可以很快的解出原方程
3、的通解，求解积分因子的过程是需要学习的重点也是锻炼数学能力重要的途径.1.1.1研究背景一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，积分因子法就是把一个一阶微分方程化为全微分方程求.如果掌握这一些方法，就能很容易的解出--些方程的积分因子，尽而大大提高解微分方程的效率，在研究的过程中要侧重于解决求积分因了的困难性，即针对各种类型的微分方程，给出相应的积分因了，这类研究的确冇助于学习积分因子的相关内容，但也冇一定的局限性，即只能掌握具体的微分方程的相关知识•与推导一阶微分方程的积分因子不同二阶微分方程积分因子的推导就需要一定的逻辑性.在学习的过程屮主要解决求解积分因子过程当中
4、所用到的各种基本方法和一些技巧，在总结这些技巧的过程当中学会归纳数学思想，在研究的过程当中应当通过各种实例，以及不同类型的方程来总结积分因子的求法，总结规律掌握一套自己的方法.1.2预备知识一阶微分方程空=f(x,y)我们可以将它写成微分形式f(x,y)dx-dy=O,或dx把x,y平等看待，写成具冇对称形式的一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)，这里假设M(x,y),N(%,y)在某矩形区域内是x,y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数.这样的形式便于我们研究方程的通解•这里如果方程(1)的左端恰好是某个二元函数旅兀,刃的全微分即M(x,y)dx+N(x
5、,y)dy=du{x,y)-^-dx+^-dy,则称(1)为恰当微分方程•容易dxcy验证旅兀,刃二C为方程的通解，(C为任意常数)这里会提出一个疑问，我们怎么来判断一个微分方程式恰当微分方程呢？如果方程(1)是恰当方程如何求得心刃？为了解决这个问题我们可以对%=M斗N分别对y,x求偏导数，得oxoydxdydM82udy，dydx燈由譽譽的连续也可得也亠，故弛dxdydydxdydNa?(2)因此(2)式是(1)的必要条件，还需要证明下充分条件在这样的证明过程当中也就回答了提出的俩个问题•我们从単=旳出发，把y看作参数，解这个dx方程得到jMgy)dx+0(y),(3)这
6、里離刃是y的任意可微函数•现在我们可以来确定廡刃使u同时满足卜N,即^-=4-iM(x,y)dx+^^=N*此我dyoydyJdy们可得如2dy(4)这是我们只需证明(4)的右端对x的偏导数恒等于零，即:=0，通过证明我们可以得出恰当微分方程(2)的通解就是aJm(兀,y)dx+J[N-+(兀,y)dx]dy=c,(5)因此我们通过判断譽和霜是否相等来确定方程式否为站微分方程申然求解恰当微分方程的方法不止这一种，这里介绍一•种比较常用且较为简单的方法即公式法恰当微分方程(2)的通解口J以表示为「M(%,y)dx+fN(>o，y)dy=C,『［N(x,y)dy=C.在确定过方
7、程是恰当微分方程后冇时也并非按山o•b'o照上述方法求解，而是采用“分项组合法”先把木身已经构成的全微分项分出，在把剩下的项凑成全微分这就需要熟悉一些常用的二元函数的全微分，这种方法对于我们以后的积分因了求解有很大的帮助，因此必须熟练掌握这个基木功.一些常见的二元函数全微分如下：曲+砂=dg)出H=d(兰)型二凹=dG)y对xydx一xdyX=J(arctan—)yydx一xdy4)x+yxdx+ydy1”9°、十于石d(“+y-)1.3积分因子的概念及定义上一节介绍了恰当微分方程的一些内容，在实际的应用当屮恰当微
