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1、构造二次函数的解題策略通过对题日条件、结论的结构特征进行观察、对照、分析，恰当地构造出新的数学模型来达到解题的H的，这种方法称之为构造法，它往往以构思新颖、方法便捷而备受表睐，同时也是训练学生创造性思维能力的有效途径•本文将对如何构造二次函数解题的策略作探讨，供大家参考.一、根据函数的性质构造二次函数例2已知定义在R上的偶函数f仪)在[0,+8)上是增函数，且f(
2、)=0,则满足f(log4x)>0的x的取值范围是()(A)(x
3、x>2)(B){x104、)(C){x102}解析：
5、因题中所涉及的隊I数的单调性与奇偶性，符合二次隊I数的性质特征，因此，令f(x)=x2-则f(log4X)=(log4X)2-
6、,由(log4X)2-
7、>0得log4X>
8、nR]Og4X<~02,故选(C)・二、根据判别式的结构特征构造二次函数例2实数a,b,c满足(a+c)(a+b+c)<0,证明：(b—c)2>4a(a+b+c).证明：从(b-c)2>4a(a+b+c),类比二次方程屮判别式厶=b?-4ac的结构特征，町构造二次函数f(x)=x2—(b—c)x+a(a+b+c),•
9、/(a+c)(a+b+c)<0,取x0=a+b+c,贝Uf(x0)=(a+b+c)2—(b—c)(a+b+c)+a(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)—(b—c)+a]=2(a+c)(a+b+c)<0,乂f(x)开口向上，Z.f(x)的图象与x轴相交，・・・△=(()—c)2—4a(a+b+c)>0,即(b~c)2>4a(a+b+c).三、变更主元构造二次函数例3已知(0,1),求证:对于切xWR,都有1+2(2—a2)x2+(3a—a2)x4>2x+2ax3.证明：整理为关于。的不等式：
10、(x4+2x2)a2-(3x4-2x3)a-4x2+2x-1<0是关于a的二次式，因此木题可构造关于a的二次函数.令f(a)=(x4+2x2)a2-(3x4-2x3)a-4x2+2x-1.显然x4+2x2>0,特别地x=0时，f(a)=-l<0成立，13I(UxHO时f(0)=—4x2+2x—1=—4(x—-)2——<0f(1)=x4+2x2—3x4+2x3—4x2+2x—1=—2x4+2x3—2x2+2x—1=—2(x22—护―(X-1)2<0.由二次函数的图象知,当ae(0,1)时,f(a)11、ax{f(0),f(l)}<0,f(x)因此,结论成立.四、利用二项差的平方和构造二次函数対丁•某些不等式的证明题，若能根据其条件和结论，通过利用二项差的平方和构造二次函数:f(x)=(aix—bi)2+(a2x—b2)2+—+(anx—bn)2,由f(x)20,得A^O,就可以使一些用-•般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明.例4已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求a的取值范围解析：构造二次函数f(x)=(x—b)2+(x—c)2+(x—d)2,贝lj
12、f(x)=3x2-2(b+c+d)x+(b2+c2+d2),因为f(x)$O,.•.△W0,即4(b+c4-d)2-12(b2+c2+d2)WO,由已知a+b+c+d=5,a2+b2-t-c2+d2=7,得b+c+d=5—a,b2+c2-Hd2=7—a2,贝lj4(5—a)2—12(7—a2)W0,所以2a2-5a+2^0,解得例5已知x,y,z是实数，且满足x+y+z二5,xy+yz+zx=3,试求z的取值范围.解：由L2知条件可得x2+y2+z2=(x+y+z)2—2(xy+yz+zx)=19»
13、/.x2+y2=19—z2.构造二次函数f(t)=(t-x)2+(t-y)2,则f(t)=2t2-2(x+y)t+(x2+y2),因为f(x)2O,•••△WO.即4(x+y)2-4X2(x2+y2)^0.由已知x+y+z=5,x+y=5—z,所以4(5—z)2—4X2(19—z2)^0,所以3z?—10z—13W0,解得一lWzW#.五、根据二次方程、二次不等式与二次函数的关系构造二次函数例6已知关于x的方程7x2—(m+13)x+m2—m—2=0的两个实根一个小于1,一个大于1,求m的取值范围.
14、解析：令函数f(x)=7x2—(m+13)x+m2—m—2=0,此函数的图象表示开口向上的抛物线，与x轴的交点在1的左右两边各一点，因此，只须f(l)<0,B
15、J7Xl2-(m+13)XlW-m-2<0,亦即m2-2m-8<0,A-216、x—七厶
17、W七丄与x2-3(a+l)x+2(3a+l)WO(aeR)的解集依次为A与B,求使AcB的x的取值范围.(卄1)2(])2解析：解不等式
18、x—遐
