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1、第2章独立分量分析原理2.1引言ICA是20世纪90年代发展起來的一种新的信号处理技术，它是从多维统计数据小找出隐含因子或分虽的方法。从线性变换和线性空间介度，源信号为相互独立的非高斯信号，可以看作线性空间的基信号，而观测信号则为源信号的线性纽合,ICA就是在源信号和线性变换均不可知的情况F,从观测的混合信号中估计出数据空间的棊木结构或者说源信号。冃前ICA的研究工作大致可分为两人类,一是ICA的基木理论和算法的研究，基木理论的研究有基木线性ICA模型的研究以及非线性ICA、信号有时间延时的混合、卷积和的情况、带噪声的ICA、源的不稳定问题等的研究。算法的研究可分为基于信息论准则
2、的迭代估计方法和基于统计学的代数方法两大类，从原理上来说，它们都是利用了源信号的独立性和非高斯性。各国学者提岀了一系列估计算法。如FastICA算法、Infomax算法、最大似然估计算法、二阶累积量、四阶累积量等高阶累积量方法。另一类工作则集屮在ICA的实际应用方面，已经广泛应用在特征提取、生物医学信号处理、通信系统、金融领域、图像处理、语音信号处理等领域，并取得了一些成绩。这些应用充分展示了ICA的特点和价值。本帝首先了介绍了ICA原理；接着简单阐述了ICA的发展历史；因ICA涉及到很多数学知识，为更好地理解ICA的原理及算法，与ICA密切相关的概率、统计、信息论等数学知识亦得
3、到了简要阐述；最后介绍了ICA屮独立性度量的儿种方法。2.2独立分量分析的定义2.2.1独立分量分析的线性模型因为ICA是伴随着盲信号分离(BlindSignalSeparation,BSS)问题发展起來的，所以BSS问题的介绍，有助于对1CA的理解。(1)盲信号分离问题网绚BSS问题是信号处理中一个传统而乂极具挑战性的课题。BSS是指仅从观测的混合信号(通常是多个传感器的输出)中恢复独立的源信号，这里的“盲”是指：1.源信号是不可观测的；2.混合系统是事先未知的。在科学研究和工程应川中，很多观测信号都可以假设成是不町见的源信号的混合。所谓的“鸡尾酒会”问题就是一个典型的例子，简
4、单说就是当很多人(作为不同的声音源)同时在一个房间里说话时，声音信号由一组麦克风记录下來，这样每个麦克风记录的信号是所有人声音的一个混合，也就是通常所说的观测信号。问题是：如何只从这组观测信号中提取每个说话者的声音信号，即源信号。如果混合系统是已知的，则以上问题就退化成简单的求混合矩阵的逆矩阵。但是在更多的情况卜-，人们无法获取有关混合系统的先验知识，这就要求人们从观测信号來推断这个混合矩阵，实现盲源分离。下面介绍盲源分离的数学模型：设有N个未知的源信号sQ,i=,..・N,构成一个列向量S(r)=[Sl(r),...,S.v(r)]r,K中r是离散时刻，取值为0,1,2,…。
5、设A是一个MxN维矩阵，一般称为混合矩阵（mixingmatrix）o设X（f）=[X】（fXm（/）『是由M个可观察信号/•（/）,i=1,…M构成的列向量,且满足下列方程：X（f）=MS（f）,M>N（2.1）BSS的问题是，对任意/,根据已知的X（7）在A未知的条件下求未知的S（/）。这构成一个无噪声的盲分离问题。设Vw（/）r是山m个口色、高斯、统计独立噪声信号v（/）构成的列向量，KX（r）满足下列方程：X（f）=4S（/）+N（f）,M>N（2.2）则由已知的X（J在A未知时求S（f）的问题是一个有噪声有分离问题。（2）基本独立分量分析的线性模型⑸ICA一般根据以下的
6、几个基本假设条件来解决BSS问题：（a）各信号源S’C）均为0均值、实随机变量，各源信号Z间统计独立。（b）源信号数M与观察信号数N相同，即N=M,这时混合阵A是一个确定且未知的NxN维方阵。假设A是满秩的，逆矩阵存在。（c）各个S,（J的pdf（概率分布函数）屮最多只允许有一个具有高斯分布。（d）各观察器引入的噪声很小，可以忽略不计。这时可以用式（2.1）描述源信号与观察信号之间的关系且N=Mo（e）关于各源信号的pdf：门（Sj,略有一些先验知识。这称为基木ICAoICA的目的是对任何f,根据已知的X0）在A未知的情况下求未知的S"）,1CA的思路是设置一个NxN维反混合阵W
7、=X（r）经过W变换后得到N维输出列向量Y（/）=[M）,・・・,/）『，即有y（f）=WX（f）=WAS（f）（2.3）整个过程对以表示成如下图：图2.1ICA的线性模型如果通过学习得以实现WA=I（I是NxN维单位阵），贝Ijr（r）=s（r）,从而达到了源信号分离目标。应当说明，这是较理想的情况，实际中往往不能同时满足上述这些假设条件。因此，最近几年,许多学者都涉及了减弱这儿个假设条件的ICA研究，捉岀了一些新的理论，女h非线性ICA；带噪声的ICA；信号有时间延时的混合；
