数学运算之排列组合专题

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1、数学运算之排列组合专题基本知识点回顾：1、排列：从N不同元索中，任取M个元素（被取元索各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。2、组合：从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成11个步骤，做第1步有ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=mlXm2X•••Xmn种不同的方法。4、分类计数原理：

2、完成一件事有n类办法，在第一类办法中有ml种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N二ml+m2+-•+mn种不同的方法。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；（4）计算方案是否正确，往往不

3、可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。二、两个基木计数原理及应用（1）加法原理和分类计数法1.加法原理：分类用加法（取其一）分类：翻译成“要么，要么”2.加法原理的集合形式3.分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）（2）乘法原理和分步计数法1.乘法原理：分步用乘法（全部取）分步：翻译成“先，后，再”2.合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必

4、须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步小所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例：教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生。选□□其中一个擦黑板,就是取其一(10+5)教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生，选其中一男一女交际舞，全部取(10*5)三、排列和组合问题排列(和顺序有关)：换顺序变成另一种情况的就是排列A的公式：假设从m中取N,那A二M*(m-1)连乘N个。组合(和顺序无关)：换顺序还是原来的情况那种就是组合C的公式：假设从M中取N,那

5、C=[m*(mT)*(m-2)"・]/[n*(nT)*(n-2)],分子，分母都连乘n个【例5]林辉在口助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序,则他可以有多少种不同的选择方法？A.4B.24C.72D.144解：不考虑食物的次序，所以用C,然后肉类，蔬菜，点心是属于分步问题(全取)，所以用乘法原理。【例6】一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种安排方法？()A.20B.1

6、2C.6D.4解：顺序不变不等于捆绑,捆绑是只用于挨着的情况。此题用插空法。方法1：分类计算思想一一当新节目为XY,要么X,Y在一起的情况和要么x,y不在一起的情况。——捆绑法的前提：捆绑的对象必须在一起（相邻问题）3个人捆起来，A33（也需要安排顺序）——捆绑法先用的——插空法的前提：插空的对象不允许在一起（相隔问题）3个人插空是后插他们，先安排别的元素——插空法是后用的方法2：分步计算思想，先插X,再插Y（很重要的思想）【例题】书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书,6本不同的英语书。（

7、1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由丁有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3X5X6=90（种）。（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情

8、况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况小又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3X5+3X6+5X6=63（种）。【例题】5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种？解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3X3X3X3X3=35（种）四、错位排列问题（顺序全错）问题表述：有N封信和N个信封，则每封信