多元函数微分法及其应用习题及参考答案

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1、第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数，，则在上，。(2)函数在点处可微的条件是在点处的偏导数存在。(3)函数在点可微是在点处连续的条件。2．求下列函数的定义域(1)；(2)3．求下列各极限(1)；(2)；(3)4．设，求及。5．求下列函数的偏导数(1)；(2)；(3)。6．设，，，求全导数。7．设，，，，求。8．曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？9．求方程所确定的函数的偏导数。10．设，求所有二阶偏导数。2911．设是由方程确定的隐函数，求，。12．设，求。1

2、3．设是由方程确定的隐函数，求，，。14．设，求全微分。15．求函数在点的全微分。16．利用全微分求的近似值。17．求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平面方程。18．求曲面上点处的切平面方程和法线方程。19．求曲线，，上点，使在该点处曲线的切线平行于平面。20．求函数的极值。21．求函数的极值。22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？(B)1．求下列函数的定义域(1)；(2)2．(1)设，求，。(2)设，求

3、3．求下列函数的极限29(1)；(2)4．设，问是否存在？5．讨论函数的连续性，其中。6．二元函数在点处：①连续，偏导数存在；②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。7．设，求，。8．设，求，。9．设，求，。10．设，可微，求。11．设，求，。12．设，求。13．设可微，求全微分。14．设是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数，求，并由此求和。15．求的偏导数。16．设，求，。2917．设，求。18．求函数在点处沿从点到点方向的方向导数。19．求函数在点沿，，在此点的切线方向上的方向

4、导数。20．求函数在点处沿方向的方向导数。21．判断题：(简单说明理由)(1)就是在处沿轴的方向导数。(2)若在处的偏导数，存在，则沿任一方向的方向导数均存在。22．证明曲面上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。23．证明：球面∑：上任意一点处的法线都经过球心。24．求椭球面上的一点处的切平面与平面的交角。25．设，都是，，的函数，，的各偏导数都存在且连续，证明：26．问函数在处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。27．求内接于椭球面的最大长方体的体积。28．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的

5、促销广告，根据统计资料，销售收入与报纸广告费及电视广告费(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。29．求函数的阶麦克劳林公式，并写出余项。2930．利用函数的2阶泰勒公式，计算的近似值。(C)1．证明。2．设，其中在点，邻域内连续，问(1)在什么条件下，偏导数，存在；(2)在什么条件下，在处可微。3．设而为由方程所决定的函数，且是可微的，试求。4．设由确定，求。5．从方程组中求出，，，。6．设，且，试确定常数，，使函数能满足方程：。7．证明：旋转曲面上任一点处

6、的法线与旋转轴相交。8．试证曲面()上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。9．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。10．设轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。29第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数，连续，则在上，。(2)函数在点处可微的必要条件是在点处的偏导数存在。yO(0,1)x图1(3)函数在点可微是在点处连续的充分条件。2．求下列函数的定义域(1)解：设定义域为

7、，由和，即，得，如图1所示(2)解：设定义域为，由，即，不同时为零，且，即，得。3．求下列各极限(1)(2)解：原式解：原式29(3)解：原式4．设，求及解：，，，5．求下列函数的偏导数(1)解：类似地(2)解：同理可证得：29(3)解：6．设，，，求全导数。解：，，依复合函数求导法则，全导数为7．设，，，，求。解：8．曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？解：，，故。9．求方程所确定的函数的偏导数。解：关于求导，得到，即29关于求导，有，即。10．设，求所有二阶偏导数。解：先求一阶偏导数，得，再求二阶

8、偏导数，得，，，11．设是由方程确定的隐函数，求，。解一：记，则，，当时，便得，。解二：（提示）直接对方程两边求偏导数，并明确是、29的函数，即可得，。12．设，求。解：令，则，，则。13．设是由方程确定的隐函数，求，，。解：方程两边对求偏导数，有，即解得类似地，方程两边对求偏导数，解得再求二阶混合偏导数，得把上述的结果代入，便得：。14．设，