经典奥数时钟 问题

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1、时钟问题解法与算法公式时钟问题的关键点：　　时针每小时走30度　　分针每分钟走6度　　分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。　　请看例题：　　【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：　　A．1次B．2次C．3次D．4次　　【解析】　　时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：　　根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示经过4

2、9又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。　　【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为　　A．10点15分　　B．10点19分　　C．10点20分　　D．10点25分　　【解法1】　　时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。　　【解法2】常规方法　　设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，

3、则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。著名数学难题：时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。例1在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后

4、，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12x－x=60m，其中m=1，2，…．度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。例2已知：挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每小时快2分钟，

5、闹钟比台钟每小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟。试问：手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？解：(1)标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分。(2)因为台钟比挂钟每小时快2分钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟。设当标准时间走60分时，即挂钟走58分，台钟走x1分钟，则(3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟。设当标准时间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，则(4)因为手表比闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟。设当标准时间走60分时，闹钟走x2分，手

6、表走x3分，则答：手表走时不准，走慢了，每小时慢0.133分，即大约慢8秒。例3一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？解：设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45＋x)分，由于分针转动的速度是时针的12倍，所以有方程例4时钟的分针和时针在24小时中，形成过多少次直角？解：因为时针1小时转动30°，所以1分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°．　　设x分钟后，时针与分针成直角，则有方程x(6°－0.5°)=90°．　针24小时会有多少次差90°的倍数呢？设有n次，则由此解得n=88．在这88次中，时针与分针所成角度分别为9

7、0°，180°，270°，360°，其中180°，360°不合要求，因此总共有44次直角。(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例5时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？直线上。也可这样解：设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时例6在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设此时是5时x分，在手表面上，因为分针1分钟转动6°，时针1小时转动30°，则1分钟转动0.5°，时针从0点到5点x分转动了(150＋0.5x)度，分针从0分到x

8、分转动了6x度。因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差3×6°=18°，所以有方程150＋0.5x－6x=18．　　解之