小世界进化模型研究

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1、小世界进化模型研究关键词：小世界网络，DSW网络，P-SW网络，对数正态分布。摘要网络分析是种有效的分析金融市场及社会问题的工具。在本文中，我们基于苦名的Watts-Strogatz的小世界网络，采用了理论分析和计算机模拟的方法，通过引入节点连接数正态分布的方法提出两种网络模型一一DSW网络和P-SW网络。并且我们在理论与计算机模拟两方面得到了相符合的结论。改进后的网络可以更好地适应现实问题特别在经济及其他成员具有不同重要性的社会领域。另外，我们通过调节网络适当的参数得到了其他有趣的结论。我们期待这些改进的网络能在今后的不同种金融市场及其它社会领域分析中起到作用。1

2、引言网络分析是种强大的分析金融市场和社会问题的手段［l-12］o至今，我们发现两种基本的实际复杂网络的属性：smallworld（小世界）性质（类似于社会体系中著名的六度分割现彖，通过极少数步骤从一个指定节点到达另一个节点）和scale-free性质（每个节点连接数的概率满足幕律分布，即scale-free［3］）o著名的Watts-Strogatz（W-S）小世界网络是Watts和Strogatz［l,13］提出的。该模型由一个规则的环组成，通常是一个一维的几乎具有周期性边界条件的环（即环中每个节点几乎都连接到一固定数冃的邻近节点）和少量的随机选取节点连接成的“捷

3、径”（重新连接现存的边）。小世界网络同时具有“高网络聚集度”和“低平均路径”的特性。［2］聚集意味着如果个体有共同的朋友，则两个个体更有可能成为朋友。而“低平均路径”意味着平均路径随着节点数增长仇仅以指数形式增长。这显示了任意两个人可以通过比较短的中间连接取得联系。在本文中，我们定义“或厂）为平均路径，C或（CJ代表聚集度，斤代表每个节点在重新连接（加入捷径）前连接到邻近点的点的数目。在小世界网络中，已被证明我们可以加入少量的捷径来大幅度降低/然而C几乎保持不变［1］。如果我们可以找到一些实际生活中的模型符合小世界的特性，我们根据这个/和C的特性可以得到一些重要的特

4、性。例如，一些研究者发现因特网［3］和疾病传播⑶具有小世界特性，因此我们nJ以通过在一些不相干网站上加入链接的方法来增加因特网的安全性以及通过减少不相干人群接触的方法减少疾病传播范围。然而，我们有一些计算/［2］和口3］的方法。在通过大量对那些具有小世界特性的实际情况与理想小世界模型的比较^［4-8］,可以发现⑶一些路径和聚集度的偏差。关于这个问题,可能的原因是，在小世界模型中，在重新连接前要求每个节点连接到固定数H的邻近节点以及真个网络具有一个相同的概率来加入捷径。因此，该模型可能无法非常好地符合现实惜况。在本文中，我们提出2个进化的小世界模型来克服这两个问题。对

5、于笫一个问题，我们构造一个标准的小世界网络但每个节点实际上是独立的小世界网络。而对于每一个这些所谓的“节点”只包括所有的那些在重新连接前具有相同连接数的“小节点”（在不同“大节点”中的“小节点”具冇不同数II的到邻近节点的连接数）。在图2中每个大节点都是个小世界网路。因此在此模型屮，我们可以给定一个&的范围并构造一个大的小世界网络。我们根据对数正态分布决定了每个&的节点数的比例［14］。为了方便起见，我们让所有网络重新连接边的概率相同。Z后，基于参考文献［2・3］中的理论，我们提出一些方法来计算/和6另外，我们也进行一些计算机模拟。非常有趣的是，计算机模拟与理论俏収

6、得了比较相近的结果，这表明了我们预期理论的冇效性。Z后，我们比较了真实情况与我们新的模型的数据并最终分析一些我们新模型的侑趣的特性。这个模型可能更好的适用于阶级现象由于它使得节点有不同的重要性，所以该模型被期待拥有大量社会问题的应用，我们可以使用该新模型的特性来更精确地分析社会现彖。因为这种节点的双重性，我们可以称这种模型为“双小世界模型（DSW）”。对于第二个问题，我们构造一个类似于W・S小世界网络的模型但使用不同的构造方法。它类似于W-S网络模型的构造但具冇不同方法来添加捷径。模型中每个节点有口己的概率•其他非邻近于该节点的节点联系。每个概率值的节点个数的比例也

7、由对数正态分布决定。为了方便起见，我们在后血叫这个模空“P・SW”。结果显示了这两种模型都能更满意地适应真实情况而这两种模型也具有类似W-S模型的特性。因此，我们可以用更精确模型来分析不同种类的实际悄况，并有可能有更好的解决方案解决问题，尤其是经济学和其他成员不具有平等重要性的社会领域。因此一些真实情况如疾病或信息传播可能可以根据我们新的模型来让人更信服、有效地进行分析。2W・S模型的缺点一个W・s模型是一个介于在下面定义的规则网络与随机网络间的网路。我们从一个具有77个节点的环开始，每个节点连接到&个邻近节点。我们可以考虑每条边并给一个P作为重新连接该条边（叫