高校食堂窗口设置

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1、吉林财经大学2009-2010学年第二学期《数学模型》期末试卷考试形式：论文课程模块：成绩：论文题目：高校食堂窗口设置问题专业：数学与应用数学班级：0803姓名：王艳菊学号：1101080321高校食堂窗口设置问题一、摘要随着我国高校的扩招及教育事业的发展，高校食堂在不断扩大其自身容量的同时，其在高校发展中扮演的作用也越来越重要，同时高校食堂也面临着经营管理方面问题的严峻挑战。高校学生对食堂服务怨声载道,其中等待时间过长的问题尤为突出。如何有效利用有限的人力、物力资源提高服务质量和效率成为高校食堂赢利的关键。在此讨论高校食堂服务系统窗口设置的优化问题。根据各工作日不同时间段内

2、顾客的多少适当地增减窗口，从而在顾客平均等待时间和银行服务窗口数量之间找到一个最优的状态。在顾客等待时间容许的情况下,使银行所设的窗口最少从而使食堂的收益达到最大。本文运用排队论原理针对高校食堂窗口设置问题建立了多服务窗口等待制M/M/N（即泊松输入、负指数分布服务、N个服务台）模型，最终求得了我校应在非周末、节假日设置7个食堂窗口；对于周末、节假日设置5个食堂窗口是使学生和食堂达到满意程度的最优窗口设置数量。关键词排队论食堂窗口M/M/N模型二、问题重述随着我校办学的不断发展，后勤工作，特别是直接面对学生的食堂工作，显得日趋重要。我们在食堂常常看到这样一种现象：由于在开餐的

3、高峰期，学生就餐的人数多，而服务窗口较少，使得学生抱怨排队等待的时间太长。再有，如果服务窗口太多，对于食堂来讲浪费了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方面发展。如何使双方都达到满意，这是我们迫切需要解决的实际问题。请运用数学模型原理解决食堂服务窗口设置数量问题。三、基本假设与符号说明（一）基本假设：（1）学生到达食堂的时间是独立的，服从一种特定的概率分布；（2）服务时间是独立的，服从一种特定的概率分布；（3）所有到达的学生都进入排队系统，并在那里直到服务结束；（4）排队系统有一个无限队列，因此可以容纳无限量的学生；（5）学生服务优先规则是先到先服务；（6）工作时间足够长，能

4、使服务系统达到稳定状态；（7）每一个学生由一个服务窗口单独提供服务。（二）符号说明：：学生到达强度；：食堂窗口数量；：食堂中的学生数量；：食堂单个窗口的服务率；：系统的服务强度；：队长（平均学生数）；：队列长（等待的平均学生数）；：平均忙着的服务窗口个数；：学生等待时间；：学生逗留时间；：学生等待的概率；：在时刻系统中有个顾客（即状态为）的概率。三、模型的建立与求解3.1模型原理：排队论是研究排队系统的理论，又称为随机系统的理论，它提供了很多不同的排队模型，通过这些排队模型能够找到服务成本和服务水平之间较好的平衡。排队系统是由输入过程、排队规则和服务方式等3个组成部分。输入过

5、程指各种类型的顾客按怎样的规律到来.主要类型有定长输入、泊松输入和爱尔朗输入。其中泊松输入适用最广泛。排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。主要有损失制、等待制和混合制。服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客,每一顾客服务了多长时间。主要有定长分布、负指数分布、爱尔朗分布几种方式。排队现象是指顾客以特定的或变化不定的速度到来,按照一定的服务规则接受服务员服务的过程。排队系统是指存在着排队现象的系统。主要研究和计算的数量指标有:(1)队长,系统中的全部顾客数；(2)队列长,系统中排队的顾客数；(3)顾客在系统中的逗留时间,包括顾客排队等候及被服务的时间；(4)顾客在系统内

6、排队等候时间；(5)忙期,指服务机构连续接待顾客的时间长度,即指服务强度。为了叙述方便,引入下列记号:令M代表泊松输入或负指数分布服务,于是泊松输入、负指数分布服务、N个服务台的排队系统写成M/M/N。3.1.1单服务窗等待质排队模型（M/M/1)排队模型M/M/1表示顾客源为有限的，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数的泊松分布；单服务台，队长无限，先到先服务；各顾客的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。1.确定系统在任意时刻的状态为的概率已知顾客的到达规律服从参数为的泊松分布，服务时间服从参数为的负指数分布；若有个顾客，只有一个接受服务，其余的顾客排队等待，有无限

7、个位置可排队，于是在时间间隔内有：1）有一个顾客到达的概率为.2）没有一个顾客到达的概率为.3）有一个顾客被服务完的概率为.4）没有一个顾客被服务完的概率为.1）多余一个顾客到达或服务完离去的概率为。则在时刻系统中有个顾客（即状态为）的概率，可能的情况见表一。表一状态的概率情况时刻的顾客数在区间在时刻的顾客数到达离去（A）（B）（C）(D)××√√×√×√这是一个生灭过程，四种情况是相互独立的事件，则有，整理得，并令，则得，当时，类似地，可有，为求稳态解，假设当时，的极限存在，即有，则，，这是关于的差分