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1、浅谈幕级数的若干应用一、引言在数学屮，幕级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个•幕级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是无穷次的多项式•幕级数是数学分析中的一个非常重要的内容，同时在复变函数论屮，函数幕级数展开无论在理论上还是在应用上都占有非常重要的地位，是复变函数中的重要工具.幕级数的应用非常广泛，口J以借助幕级数的展开形式很容易的解决一些较为复杂的问题.木文旨在研究幕级数在复变函数幕级数在的三角级数求和的应用，在判断阶m零点，极限，组合概率计算，在递推数列求通项，计算积分等方而所起的作用，并加以总结.(-)幕级数的一些基本知识定义1・1⑴形如工％-

2、兀())"=a()+a^x-x())+a2(x-x()y+・・・+匕(兀-兀())"d—,n-0(色w/?'=0,l,2・.・)，函数项级数称为实系数幕级数它的一般项是a^x-xj・当兀时,有00n2/ynx=a()+a}x+a2x+…•n-0定义1-2形如00工C/JCo+C忆+。2才+..・，71=0(C”wC/=0,l,2・・・)，的函数项级数称为复系数幕级数.定义1・3【2］设A,是一串等待的数值(“0丄2,…)，如果我们能作出一个函数Fd),它的幕级数展开式恰好是F(x)=Aq+A^x++…+AnxnH—•,我们就说是F(x)数列…人,…的发生函数(或母函数)•一般地，多重幕级数，忑

3、）二工小2所代表的多元函数F即称为盅,吃」（厲角,…，兔=0丄2,…）发生函数.008定义1-4设两个形式幕级数=,./2（兀）=£加“•则它们的积为/?=（）/?=（）如H/i(兀)•fiW=，其中系数q=£也丸・//=0k=0808定义1-5设/,g=Xb^n，/7=£卩〃,是三个形式幕级数.如果"=0z?=0n=0f=gh,就称/被g除的商是力，记为—=/?.g8定理1・1⑷复级数£啓"之（）+*+。2才+…，（C”WO=0,1,2…）收敛的充分必//=08要条件是£此

4、忖"收敛n=0（-）函数幕级数的展开形式1•定理2-1⑸（Taylor公式）如果函数于（兀）在含有点兀。的区间@上）内

5、有直到兀+1阶的连续导，则当x取区间（以）内任何值时，/（兀）可以按（兀-兀）的幕展开为f（兀）=t$）（"一兀。）a+r“⑴k=0K!其屮/?„（%）=—（x-x0）/，+1称为Lagrange型余项（歹介丁w和兀之J'可）.（/I+1）!当f（x）在含冇x0的区间（a,b）内具有任意阶导数，可得幕级数n(2-1)8/(x)=En=0称为/（%）的Taylor级数.2.Taylor公式中的余项Rn（x）还有其他形式仃）Peano型余项当函数/⑴点；的某邻域内有—1阶导数.严）（勺）存在，有尺“（兀）=。（（兀-兀0）"）・⑵Lagrange型余项另一形式（3）积分型余项当函数在/（x）点的

6、无。某邻域内有川+1阶连续导数时，冇r“⑴=2r严刊⑴⑺一］）"dt^

7、R,R）上连续；若在心）n=0x=R（^x=-R）收敛，则和函数在x=R（^x=-R）左（右）连续.2•逐项可积:幕级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分.00定理3・3设是幕级数2-X收敛域中任意二点，则n=000n=0anxndxJa特别地，取a=O9b=x,则有Y“+lrrrJo丈cintnclt二£n=0n=0严.n8目•逐项积分所得幕级数£上—冈与原幕级数具冇相同的收敛半径.n=0兀+1n=04.逐项可导性:幕级数在收敛域内部可以逐项求导•00ddxoo=EnanX，l~n=1定理3・4设的收敛半径为/?,则它在(-R,R)上可以逐项求导，即gx/z和*n=0ax且逐项求导

8、所得的幕级数Xnatlxn~l的收敛半径也是/?・/;=!二、幕级数的应用函数幕级数的应用非常广泛，但在一般的教科书中大多只介绍了它在近似计算等方而的应用，很少捉及它在其他方而的应用•利用幕级数和函数的分析性质,以及函数幕级数的展开式表示函数等,常常能解决许多较为复朵的问题.卜•面我们來研究函数幕级数的另一些应用.(-)复变函数幕级数在三角级数求和中的应用我们在学习傅立叶级数时，我们把将周期函数展