小波分析的发展历程

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1、小波分析的发展历程一、小波分析1910年，Haar提出了I?（R）中第一个小波规范正交基，即HaarI交基。（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。（2）优点：Haar小波变换貝有最优的时（空）域分辨率。（3）缺点:Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常•差。1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分纽理论，（R卩L-P理论：按二进制频率成分分纽，H傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分

2、析思想的故早起源。1952年〜1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上川的原子分解。1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统-描述的同时，给出了Besov空间的一组基。1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H"的正交基，对Haar正交棊进行了改造，证明了小波函数的存在性。1981年,法国地球物理学家Mor

3、let提出了小波的正式概念。1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都貝有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，总外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2（R）的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。1984年〜1988年,Meyer、BattlefllLemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数:Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。1987年，Hallat将讣算机视觉领域中的多尺

4、度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所冇具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的-•般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。它标志着第•代小波的开始?（1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。（2）优点：Mollat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。（3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算暈大。1988年，DaubechiesMT多项式方式构造出具有有限支集的光滑iE交小

5、波棊（即DaubechiesM）。Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，弓I起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作一一小波卜讲《TenLecturesonWavclcI》。1992年3月,国际权威杂

6、志（IEEETransactionsonInformationTheory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全而应用阶段。1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。1992年,Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。（1）操作过程：利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与乘构。（2）优点：具冇正交小波无法同时满足的

7、对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。1992年，CoifmanWickerhauser提出了小波包(WaveletPacket,WP)分析。(1)操作过程：不仅对低通子帯进行分解，而且也对窩通分量分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段。(1)优点：突破了小波分析对信号频带进行等Q划分的局限性。(2)缺点：最优基的搜索问题1992年,Zou等提出了多带小波(M-bandWavelet)理论，将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。基于“二带”小波变换的多分辨率分析中，尺度函数对应一个低通滤波器，而小波函

8、数对应一个高通滤波器。“二带”小波变换把信号分解成不同的通道，而这些通道的带宽相对于尺度函数的对数是相同的，因此高频通道具有较宽的带宽，而低频通道具有较窄的带宽。1993年，Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波(Multi-Wavelet)理论框架。(1)操作过程：将单小波屮山多个尺度函数生成的多分辨率空间扩展为山多个尺度函数生成，以此获得更大的自由度。(2)优点:1994年