椭圆中的最值问题常见策略

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1、破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近儿年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其小以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面儿何屮最值的思想来解决。第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立的不等式或方程22例1：若A,〃为椭圆冇+』r=l(d>b>0)的长轴两端点，0为椭圆上一点，®ZAgB=120°,0b~求此椭

2、圆离心率的最小值。分析：建立a.b.cZ间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件乂不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中兀y的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设A(q,O),B(—⑦0),0(兀,刃，贝〃=」一,£=」一，x+dx-aL利用到角公式及ZAQB=120°得：x^ax~a=tanl20°(xH士d),1+丄丄x+ax-a又点4在椭圆上，故x2-f/2=-^y消去兀，化简得y=又曲即犁［sbb~V3c2V3c2则4a2(a2-c2)<3c从而转化为关于£的高次不等式3/+4/—4

3、»0解得^-b>0)两个焦点为，如果曲线C上存在一点Q,使百Q丄EQ,矿b~求椭圆离心率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函

4、数的有界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：2c_PF{_PF2_PF、+PF2_2a=2—sin90°sinasin（3sina+cos0sina+cosG故幺=1V^sin（Q+45°）—2故椭圆离心率的最小值为血。点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点（点线》的最值问题破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）例头（。5年上海）点A、B分别是椭圆話+詁1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于兀轴上方，PA丄P

5、F。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB±的一点，M到直线AP的距离等于MB,求椭圆上的点到点M的距离〃的最小值。分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解：（1）略（2）直线AP的方稈是兀一V3y+6=0o设点M（w,0）,则M到直线AP的距离是也上。m+o设椭圆上的点（兀，）；倒点M的距离〃于是=,72+6，又一6

6、：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最值问题求解。破解策略之四：利用椭圆定义合理转化例4：定长为dd>^的线段AB的两个端点分别在椭圆a丿x2l（a>b>0）上移动，求AB的中点M到椭圆右准线I的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图作AA丄/于A打BB'丄/于B',MM'丄/于NT,则MMf

7、--A4Z+BB!当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为£。点评：辽是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，丝是AB过焦点的充要条件。aa通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。第三类：求角的最值问题例5：（

8、05年浙江）如图，已知椭圆的屮心在坐标原点，焦点戸，F?在x轴上，长轴A"?的长为4,左准线/与兀轴的交点为M,

9、砒

10、:

11、A]F]

12、=2:lo（I）求椭圆的方程;（II）若直线A：x=m（

13、m

14、>l）,P为厶上的动点，使ZF.PR最大的点P记•••只需求tanZ斤卩耳的最大值即可。为Q、求点Q的坐标（并用m表示）。分析：木题考查解析儿何屮角的最值问题常采用到角（夹角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，结合本题的实际，考虑用夹角公式较为妥当。解：（I）（过程略）—+^-=143（II）设P（m,y0）,

15、m

16、>l①当％=0时,上片PF?7T②当％工0时