高斯消去法高斯塞德尔迭代法

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1、数值计算高斯消去法和高斯-塞德尔迭代法摘要虽然己学过加减消元法、代入消元法、矩阵变换法和Cramer法则等，但是无法满足实际计算需要，故在此讨论在计算机上实现的有效而实用的解法。线性方程组的解法大致分2类：直接法（高斯消去法）和迭代法（高斯■赛德尔迭代法），在此对着此类算法进行比较分析。—、算法设计当计算线性方程组如下吋,(M)q同+如％+…+仇£=也a2lXj+a22x2+•••+a2nxn=b2a”內+色2兀2+・・・+色后=乞为方便起见，常将线性方程组表示成矩阵形式Ax=b…气其屮A=••••••x=■••b=■■■5…％A_并始终假定A是非奇异的，即方程组的解存在且唯一。1•1高斯消去

2、法消去法就是按特定顺序进行的矩阵初等变换法，当消元按自然顺序进行时，称为高斯顺序消去法。一般情况下的高斯顺序消去法的计算机算法如下，现将方程组（1-1）的增广矩阵记作(0)11…必a{Q)wln+l■■■■■■■■■,(0)z/(0)zf(0)n…Clnn。加+1假设经k-l步消元后，增广矩阵化为(0)(0)11"121)胖-1)nnH/T+1其中4$）的上标表示是由s步消元得到的植。第k步消元「设唸T）HO,以第k行为基础，将以后各行中的必i化为0,为此先计算然后以第i行减去第k行乘以厶，即以宀於7辭（八5…于是得泸）nn经n-1步消元后，增广矩阵化为小7nn自下往上逐步回代即可求得其解无

3、=（监）-£硝乜）/仔）H+I（k=72_I,M_2,…,1）…4；丁，可在求解过程中由行列式的初等变换和矩阵初等变换的关系可知，顺序消元法的每一步系数行列式之值不变，因此原方程组之系数行列式的值为dfd;?逐步累乘求得。1・2高斯消去法Matlab程序设计clearclcA=input('请输入系数矩阵n‘)n=size(A)1):b=input('请输入brf)a=[A,b]:D二1;Hlfork=1:n-1ifa(k,k)^=0□fori=k+l:na(i?k)=a(ijk)/a(k?k):□forj=k+l：n+la(i,j)=a(i,j)-a(ijk)*a(k,j)-endendel

4、sedispC输出尖败信息，惇止')returnendD=D*a(kJk);ifa(n,n)"=0D二D*a(n,n):elsedispC输出尖败信息,傳止’)returnend-endufork=n：-l:1s=0：3forj=k+l:ns=s+a(kJj)*a(j^n+1);enda(k,n+l)=(a(k,n+l)-s)/a(k^k);-enda]:,n+1)1.3高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法由于迭代法能充分避免系数矩阵中零元素的贮存与计算，因此特别适用于系数矩阵阶数很高而非零元极少的线性方程组。高斯-塞徳尔的迭代格式为丫伙+1)_兀1_'(-纠2兀~a3X3k)旷)

5、=<••••••丄(。22•••••••••-如兀;}•••JR+1)_Xn-—(~an2X2+i)-勺3对""或缩写为+也)(-•罗D-£吗兀+bjj=lj=M将其写成矩阵形式为严)=矿

6、［厶严)+阳］+zr%若把无曲“解出来，则得等价的迭代公式x(k+l)=(D-LYlUx(k)+(D-Ly}b记其中~a2■■0■■•■••~an~an2■…0°~a2•••~a0•••••~a2n■■■■00L=U11M(,为高斯-塞德尔的迭代矩阵。1.4高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法Matlab程序设计clearA=input('请输入A);b=inputC请输入b.rf)

7、:xO=input('请输入初ffn):D=diag(diag(A)):L=-tril(A?-l):U=-triu(Aj1):M=(D-L)U：x=M*xO+(D-L)b：n=l:ifmax(abs(eig(M)))<1□whilenotm(x-xO)>=O.OOOOO1x0=x;x=M*xO+(D-L)b;n=n+l;enddispC迭代次数为’)ndispC解为’)Xelsedisp('高斯-赛德尔迭代不收敛’)returnend二、数值试验用高斯消去法和高斯-塞德尔迭代法求解方程组「0.00173.85671.10233.1243_兀1_8.0904_0.12341.23432.3

8、0441.62575.28789.9274-4.92588.5042-3.4253X39.48057.54339.999510.6728-7.014721.20092.1高斯消去法在计算机上求解结果如下FileEditDebugDesktopWindowHelp请输入系数矩阵[0.0071,3.8567,1.1023,3.1243:0.1234,1.2343,2.3044,1.62!0.00713