课例造桥选址问题

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1、课例造桥选址问题　　中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1002-7661（2016）19-0112-02　　造桥选址问题在现实生活中有着广泛的应用，在一条河上造桥，利用桥的长度始终保持不变，通过平移桥到河的岸边，再利用两点之间线段最短，从而达到最佳的建造一座桥选址的问题，有了在一条河道上建一座桥的基础，可以得到在两条河道、三条河道、直到在n条河道分别建造两座桥、三座桥、n座桥的方法。利用平移变换进行造桥选址问题，是平移变换的一个重要应用，体现了数学源于生活，同时用运用于生活。从而达

2、到平移知识的迁移在实际生活中的具体应用。　　一、背景介绍　　本节内容是我校实施的省级科研课题：“初中数学“课题学习”校本化实施与评价的行动研究”研究实施方案的研讨内容之一。本节内容经过了几位教师的执教与研讨，本文展示的是笔者的实践设计与实录。　　（一）内容与学情分析　　“造桥选址问题”是人教版《数学》八年级上册第十三章“轴对称”的最后一节“课题学习”的第二节内容。比“将军饮马”问题较难，本节内容的解决主要是平移知识的综合应用。是对学生动手操作能力的一个考查，本节的难点在于如何把问题转化为“两点之

3、间，线段最短的问题”，在解决的过程中渗透了化归的思想。　　（二）目标与目标解析　　1.能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题.　　2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用；　　3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想，体会利用作图解决最短路径问题。　　达成目标的标志是：能够将实际问题中的“河”的两岸抽象为数学中的“平行线”，把实际问题抽象为线段和最小问题。通过学生独立思考、合作讨论、教师点拨等方式；能利用平移将线段的最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求路径最

4、短；在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟化归的转化思想，　　（三）教学思路与理念　　本节教学的重点是利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明，难点是体会利用平移作图将最短路径问题转化为线段和最小问题。　　最短路径问题从本质上说是极值问题，作为初中学生，以前涉及这方面的极值问题很少，特别是遇到具有实际背景的极值问题，更会无从下手。　　在河岸的什么位置造桥，使得路径最短，采用通过平移桥、或者河道的办法，如何平移，为什么要这样平移，多少学生存在理解上和操作上

5、的困难。在教学时，教师要适时点拨学生。　　二、教学过程　　引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”、轴对称、平移等的问题，　　1.下图中的变换属于平移的有哪些？　　师生活动：让学生独立思考回答后，教师作补充。　　设计意图：通过问题1让学生对轴对称性质、平移的定义及其性质的应用进行再认识。　　（一）将实际问题抽象为数学问题　　历史上著名的造桥选址问题：　　A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A

6、到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）　　师生活动：1.如上图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径指的是哪些线段的和？　　学生：AM+MN+BN，　　教师：这三条线段哪些线段的长度是固定不变的，那么怎样确定什么情况下路径最短呢？　　学生：桥的程度MN是固定的不变的。　　教师：利用线段公理解决问题：我们遇到了什么困难呢？　　思维点拨：在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？　　学生：　　（1）把A平移到岸边　　（2）把

7、B平移到岸边　　（3）把桥平移到和A相连　　（4）把桥平移到和B相连　　（5）平移河道　　师生活动：由于河道宽度是固定不变的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。　　我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。根据两点之间线段最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径，如图2。　　证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。可知，

8、AN1+N1B>A1N+NB。　　所以，路径AMNB要短于AM1N1B。　　设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小的问题”。通过平移搭建台阶，即平移桥或河道的办法，将问题转化为易于解决的问题，渗透了化归的转化思想。　　（二）小结　　师生一起回顾本节所学主要内容，并请学生回答　　（1）本节研究问题的基本过程是什么？　　（2）平移在研究问题中起什么作用？　　设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路、基本方法，体会平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化