造桥选址问题教学设计

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1、轴对称13.4——最短路径问题（第2课时）教学设计天河中学何兰香一、教学目标1、利用平移变换解决最短路径问题。2、通过作图，逐步培养学生作图，读图，分析图的能力，进一步体会图形的变化在解决最值问题中的作用，体会化归思想。二、教学重点和难点1、如何利用平移变换解决最短路径问题2、如何通过逻辑推理证明所求路径最短三、教材及学情分析：最短路径问题从本质上来说是几何最值问题，是近几年中考一个热点问题。通常又结合坐标系、角、三角形、四边形、圆、抛物线等知识，放置到压轴题的高度加以考查，并呈现出较多的变式，因此综合性较强，能力要求较高。而这类问题通常是利用

2、几何变换将线段“折”化“直”，进而用“两点之间，线段最短”解决。“造桥选址问题”和“将军饮马问题”同属于这类问题中最典型的一个基础问题，解决这个问题对将来解决其它这类最值问题积淀方法和经验。作为初二的学生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手.本节课教师引导学生利用折纸的方式寻找最短路径，它是可通过动手操作实现的，提高学生的求知欲望。四、教学资源：PPT课件与几何画板五、教学过程环节一：课前检测问题：要在公路m旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？请画图说明建小学的

3、位置。(1)当A村和B村位于公路两侧时A·mB·5（2）当A村和B村位于公路同侧时B··Am【设计说明】：复习第一课时基本作图，起到一个承上启下的作用；通过复习这两个题，复习将军饮马问题探究所用的重要的数学思想——化归思想，为本节课的学习做铺垫。环节二、新课探究(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直），请画图确定桥的位置，并证明为什么这样确定的路径是最短的。（1）作图BAab（2）证明师生活动：（1）通过几何画板演示，直观感受，

4、并结合图形将实际问题转化为数学问题，明确要研究的数学问题是什么？即当MN在什么位置时，线段5AM+MN+BN的和最小？由于MN的长度不变，问题进一步转化为线段AM+BN的和最小？【设计说明】让学生将实际问题抽象为数学问题，即最短路径问题抽象为“两条线段和最小问题”（1）学生通过自主探究，画图分析，合作交流，讨论，思维碰撞，共同寻找解决问题的方法，并达成共识。如果学生有困难，可以做下列提问：你觉得这个问题和我们以前学的哪个问题很象？他们的区别是什么？AM与BN是两条断开的线段，如何将他们合到一块？在不改变AM+MN+BN的前提下，如何将桥转化到一

5、侧？或者通过折纸引导学生发现平移。【设计说明】通过搭建脚手架，为学生的探究提供帮助，将折线段的和最短问题转化为两点之间，线段最短问题。即化“折”为“直”。（2）教师通过几何画板验证作图的正确性，师生共同分析，并通过严格的几何推理，证明“最短”.【设计说明】：让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力（3）师生共同回顾解决问题的过程及方法，教师总结解决“造桥选址”问题，是用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，将桥转移到一侧，将未知的两条线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题。【设计说明】：教师总结，学生对问题的再认识和

6、反思，体会“平移”的桥梁作用，感悟转化的数学思想，丰富数学活动经验。环节三、迁移训练已知A，B两点在直线l的异侧，试在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法，在右图中画出C、D的位置）5师生活动：学生分析解题思路，相互补充，如果学生解决有困难，可以进一步引导：题中的CD是不变的，就相当于“造桥选址问题”中的桥，与造桥选址问题类似通过平移变换将折线段之和最短转化为两点之间线段最短．【设计说明】：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。环节四、变式训练1、（2010•江干区模拟）已知A，B两点

7、在直线l的同侧，试在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法，在图2中画出C和D的位置）图1图22、已知点A(1，-3),B(4，-1),在轴上有两点P（a,0）,N(a+2,0),当四边形PABN的周长最小时，试确定点P,N的位置。环节五、拓展提升3、如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，请画图确定两桥的位置。5【设计说明】学以致用，及时巩固，增强学生应用知识的能力，渗透

8、转化思想.5