[精品]泰勒论文

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1、泰勒（Taylor）公式在一元函数微分学中的一些应用B09数学沈瑞刚090601102摘要木文从一个考研真题出发，通过对比推敲发现泰勒公式在微分学计算屮的优越性和技术性，归纳总结出应用泰勒公式吋的一个重要思想一转化思想，通过举例讲述泰勒公式在某些未定式极限、确定无穷小阶及函数不等式、逻辑证明推理屮的应用，并力求用文学性的语言轻松愉悦地展现Taylor公式在微分学屮的优越性。关键词泰勒公式；转化思想；不定式极限；等价无穷小；推理证明；考研数学多项式函数是各类函数屮最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.m，34微分学理论的一般情形是泰勒公式，它建立了函数增量、自变虽

2、与一阶及高阶导数的关系，因而可以用导数及肓阶导数来研究函数.特别地，耍熟练掌握基本函数：esinx,cosx,ln（l+x）,（l+xr等的泰勒公式，并由泰勒公式的唯一性用这些泰勒公式求得英它同型函数的泰勒公式严冏引言（从一个最新考题说起⑶2）当2011年1月16H8点30分开考铃声响起的时候，翻开试卷第一题，考生们便进入2011年的考研数学。笔者通过复习从中有所感怡，首先让我们来重温这道考研真题：已知当兀t0时，/（兀）=3sinx-sin3x与c*是等价无穷小，贝U(A)k=l,c=4(B)k=l,c=—4(C)p=3，c=4(D)k=3，c=—4借用张宇老师的一句话：“不管你是否已

3、经忘记了极限计算的方法，请先浏览一下此题的解答。”我初看之下，也许亦是我们最常想到的办法，求解如下：心4i3sinx-sin3x,Ft!题意，有lim=1,XTO则原式=limxtO3cosx-3cos3x“一3sinx+9sin3x=limgock(k—l)xk-2-3cosx+27cos3x=也他-1)伙-2)厂=limxtO24ck(k—V)(k—2)*7于是，R=3,c=4,选择（C）o看到这里，也许对于一个从未经历过考研的人来说，“考研”，这是个多么可怕的事情,如此小小的-道选择题，我们尽然用了三次洛必达法则才艰难地将它求解出来（试问：如果不是选择题，我们这样得到的结果能算是完全

4、正确的吗？先暂且不管它）。想想这过程真是何其艰辛，也许，我们在其中的某一步一不慎早就导错了，或许是早就放弃胡乱选一个选项就此了事。是吗？此题真就像我们想象屮的如此困难？考研数学真就如此让人望而却步？笔者琢磨发现，实则不然，因为一个问题难，那是因为我们未能抓住问题的关键，未能采用合理的方法求解，正所谓“一道数学题，不能只以自己是否做对为标准，而要看口己的方法和效率！”⑶39那么针对于2011的这道最新考题，我们该作何求解才会最恰当、更容易呢，这在后文将会给出细述，我们先给出有关泰勒公式的相关知识和定理.预备知识对于一般函数.f,设在点勺存在直到斤阶的导数，由这些导数构成一个川次多项式人（x）

5、=/（兀0）+/（兀_兀0）+/（兀_兀0尸+•••+~（兀一兀0）"⑴1!2!n（1）式称为函数/在点兀0处的泰勒多项式，7；（兀）的各项系数J'2（k=1,2,…/）称为泰k!勒系数.⑴⑶定理1若函数/在点兀0存在直至〃阶的导数,则有/（兀）=人（兀）+0（（兀一兀0）”），即fM=f（兀0）+于（x（））+/（兀_兀0）2+•••+~（x-x0）M+0（（兀一％0）"）（2）2!n（2）式称为/在点;V。处的泰勒展式，"04其中。（（兀-人））"）是一个高阶无穷小量，我们尚且把它看作一个“记号”，记住，它只是一记号，这样一来，我们就不会再为泰勒公式的“繁琐兀长”而头疼，相反，我们

6、会更喜欢它，会真正地感受到泰勒才是我们在分析学屮的好伴侣，良师益友，特別是在一元函数微分学中就更加显示了他的强大和无穷无尽的数学Z美.定理2若两数/在[a,b]上存在直至"阶的连续导函数，在（o,b）内存在（77+1）阶导函数,则对任意给定的兀，x.e[a9b]f至少存在一点兵（a,b）,使得/（兀）=/（*（））+/（*（））（兀_*（））+/°）（兀_尤（））2■*■•••n（兀一兀0）"+严)©S+1)!(x-xor+,(3)（3）式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.⑴川现在。我们借助这个“高阶无穷小量记号”，玄接给出一些特殊的泰勒公式，并由此引出一些“泰勒变化”，相信我们能够从

7、中领略泰勒公式的美.数学分析中常用的泰勒展开式（兀T0）:®sinx=x-令+心）(2)tanx=x4r?(x3)®arcsinx=x-^-—+o(x3)3!④arctanx=x-—+o(x3)3!@ln(l+x)=x-—4-o(x2)2⑥宀1+X+令+卸如）⑦（1+兀）"=1+OX+"9D/+）2!也许我们会问，这不是数学分析中告诉我们常用的的几个泰勒公式吗？书中给出的是完整的泰勒公式，尽管常用它们的形式依然冗长，还是