泰勒公式论文

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1、泰勒公式论文泰勒公式是高等数学中一个非常重耍的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材小仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。木文论述了泰勒公式的一些基木内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重耍知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明小值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的屮值，关于界的估计，方程屮的应用，用泰勒

2、公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。一、Taylor公式简介随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒,麦克劳林、费马等人作岀了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物Z—的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的Q众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计谋差等方面不可或缺的数学工具，集屮体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限

3、、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。二、Taylor公式的证明（一）Taylor公式证明初探两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式來逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗FI余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。（二）证明Taylor•公式定理1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数/在点兀。存在直至“阶导数，则有/（x）=7；（x）4-o（（x-兀°）

4、"）,即/•（兀）=/（兀0）+f（兀0）（兀一心）+'）（兀一X。）2+•••+/（兀0）（兀_尤0）“+0（（%_兀0）"）2!证明：设Rnw=fM-rn（x）,ejx）=（x-xor>现在只耍证lim^^=Of2（兀）由严）（％）=即）（％）,20,1,2,…/可知，Rn（X°）=&（&）=•••=R絆（X。）=0,并易知Q（兀0）=a（兀0）=…=QT（兀0）=O,Q!,n）（xo）=n因为广3）存在，所以在点兀。的某邻域内/⑴存在—1阶导函数/⑴。于是，当”丘"“（兀。）且XT心时，允许接连使用洛必达法则斤-1次，得到foQ“（X）（X）二1曲广7（兀）7（1（勺）—严心。）（兀—

5、兀。）"TXo讪一l）・・・2（x-Xo）二斷［广％）』％）_严（Snx-x0=0所以定理1成立。定理2：若函数/⑴在［%］上存在直至〃阶的连续导函数，在（以）内存在S+1）阶导函数，则对任意给定的兀兀。丘山，创，至少存在一点«（小，使得fM=/（%（））+/（X（））（X—兀（））+'（兀一兀（））2+•••+~~（兀一兀（））"+（X-XO）（K+，>（1）2!n（/?+1）!证明：作辅助函数F（f）=f（x）-［/（z）-/（/）（x_『）+•••+广,g（7）=（t_r）"+［所以耍证明的（1）式即为m0)=不妨设%0

6、+,)(r)nlG'(/)=_S+l)(x_/)“H0又因F(x)=G(兀)=0,所以由柯西中值定理证得Fg)二F(x())-F(x)二F'(G二.广z(GG(x0)~G(x0)-G(x)-G'(O~S+l)!其中（x0,x）c（a,Z?）所以定理2成立三、Taylor公式的应用泰勒公式不仅在极限和不等式证明屮能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具。其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，乂能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种垂耍的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题。（一）利用Taylor公式求极限（-

7、）利用Taylor公式判断函数的极值（三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性（四）利用Taylor公式证明屮值定理（五）利用Taylor公式求行列式的值（六）Taylor公式在关于界的估计的应用四、思考与总结我们大学生的思维处于由形式逻辑思维向辨证逻辑思维过渡的阶段，数学建模不仅要求学生在实验、观察和分析的基础上，对实际问题的主要方面做出合理的简化与假设，并H.要求他们应用数学的语言和方法将实