全国重点大学自主招生试题(26套)[修改版]

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1、交通大学2000年保送生数学试题一、选择题（本题共15分，每小题3分.在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内）1.若今天是星期二，则3网*天之后是（）A.星期四B.星期三C.星期二D.星期一2.3.用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN，词的概率是48216A.—B.——13!13!方程cos2x-sin2x+sinv=加+1冇实数解，A.m<—81728C.13!则实数〃的取值范围是8D.—13!4.5.2.B•m>

2、-3C-m>-1若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程兀2+四+?=0的两个根，则此数列各项的积是（）D・q加Am•PB.pmC.则lin/g+防一/（%一力）力TOhB.2C.A.-2填空题(本题共24分，每小题3分)设./(x)的原函数是a/x+1,则^f(2x)dx=.jr11设xw(0,—)，则函数(sin2x+—)(cos2x+——)的最小值是2sirrxcos"xD.43.方程316r+2-81r=5-36A的解x=.4.向fi（7=/4-27在向虽忌=37+4丿上的投影（67）乙=•5.函数y=2x+3^的单调增加区

3、间是.6.两个等差数列200,203,206,...和50,54,58…都有100项，它们共同的项的个数是・7.方程7x2-伙+13）x+&«-2=0的两根分别在区间（0,1）和（1,2）内，则k的取值范围是・8.将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是•三、证明与计算（本题61分）3"I"]1.（6分）已知正数列°i，如…,如，且对大于1的n有a“=_n,axa2---an=.试证：a>C12，…,Q〃中至少有一个小于1.1.(10分)设3次多

4、项式金)满足:Xx+2)=-A-x),/(0)=1,/(3)=4,试求/(x).2.(8分)求极限lin/+h:0).〃一>8V}!4.(10分)设/(兀)二x2+bx+c,x>0lx+m,x<0在x=0处可导，且原点到./（X）屮肓线的距离为丄，原点到.心）屮曲线部分的最短距离为3,试求/“c,I,m的值.（也少0）5.（8分）证明不等式:1

5、）如图所示，设曲线y=-±的点与x轴上的点顺次X构成等腰直角三角形AOBXA{,aa.b2a2,直角顶点在Illi线y=-±.试求的坐标表达式，并说明这些三角形X的而积Z和是否存在.复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科)一、填空题(每小题10分，共60分)1.将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第刃组含〃个数,即1；2,3；4,5,6；……令為为第n组数之和，则.1.sin2+sin2(a+y)+sin2-y)=.2.Iim[(z7+2)log2(/7+2)一2(/7+1)log2(n+1)+

6、nlog2n]=•力T8厶3.己知平行六面体的底面是一个菱形fl其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角而面积Z比为・4.正实数x,y满足关系式,-卩+4=0,乂若x

7、1=1,求数列前”项和S”.1.求证：从椭I员【焦点出发的光线经光洁的椭閲壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它闘锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明.2.正六棱锥的高等于方，相邻侧面的两血角等于2arcsin-(3V2-V6),求该棱锥的体积.(cos—=-(a/2+a/6))1244.设Z],Z2Z3,Z4是复平面上单位圆上的四点，若Z]+Z2+Z3+Z4=0.求证：这四个点纟fl成一个矩形.5.设(1+V2)W=x„+Z,a/2,其中x”,几为整数，求ms时，玉的极限.儿6.设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1•问：半径至少

8、为多人的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论.2000年交大联读班试题直线y=ax+b^^y=-x的对称直线为。已知Q,b,c是ABC的三边，oHl,h