可压缩流体的伯努利方程

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1、万方数据第27卷第8期2008年8月大学物理COLLEGEPHYSICSV01．27No．8Aug．2008可压缩流体的伯努利方程李复(清华大学物理系，北京lo0084)摘要：引入适用于可压缩流体的伯努利方程，讨论了储液器内的峰值气压．关键词：可压缩流体；伯努利方程；储液器中图分类号：O35，0354文献标识码：A文章编号：1000_0712(2008)08—0015拼在普通物理教材⋯和教学中，仅讨论不可压缩流体的伯努利方程．由此讨论液体和低速气体的运动是可以的，但是不能处理快速和高速气体的流动问题．本文利用可压缩气体的伯努利方程讨论一个涉及高速气流的实际问题．1注液过

2、程中储液器内的极值气压工业生产中常用的储液器通常有一个进液口和一个排气口．以储水容器为例，如图l所示．开始容器内有一个大气压的空气，在注水过程中容器内气压会升高．容器内气压的最大值是很重要的参量，决定了容器的强度设计．下面讨论储水容器内气压的极值．首先建立储水容器内气压变化所满足的微分方程．设储水容器容积为％，开始容器内充满与环境大气相同的空气，气压、温度、密度分别为p小r．、p．．设t时刻容器内的气压、体积、温度、密度分别为队I，、r、p．大气nL户-水图1储水容器设￡一t+df时间内注入的水的体积为dI，未，排出的空气体积为dy，并设整个排气过程为等熵过程，把空气当

3、作理想气体，则对于留在容器内t时刻体积为(y—dy)、压强为p的那些空气，在t+dt时刻体积压缩为(y—d％)、压强为(p+dp)，于是由等熵过程的泊松(Poi8∞n)公式有p(y—dy)7=(p+(1P)(y—dy水)7即p(1一yd∥y)=(p+dp)(1一ydy水／y)于是得dP=7P(dy永一dy)／y(1)其中y为比热容比．设￡时刻注入水和排出空气的体积流量分别为q永、口，则dy水=g水df，dy=gd￡由于容器内空气进入排气管后体积膨胀，所以这里的排出空气体积流量q不等于排气管中的空气体积流量q。．将上式代入式(1)得警=警(g木一g)(2)dty”本””7

4、其中一ty=％一‰=K—J9水出(3)定义气压极值p．为使dp／df=O的气压．由式(2)可知，当g未一口=0时容器内气压达到极值p。，即g永=g(4)为容器内气压为极值的条件．体积流量取决于进水管和排气管中流体的流速．流速要用伯努利方程计算．排气管中空气的流速收稿日期：2007_02一16；修回日期：2007—10—18作者简介：李复(1945一)，男，辽宁北镇人，清华大学物理系教授，主要从事基础物理教学和研究工作万方数据16大学物理第27卷可以达到声速，因此要应用适用于可压缩流体的普遍伯努利方程．2普遍的伯努利方程普通物理教材中一般不讲普遍的伯努利方程．下面简要介绍

5、如何由欧拉方程推导普遍的伯努利方程㈨．适用于理想流体(无粘滞性的流体)的欧拉方程为p孥：pf罢+口．％1：∥一vp(5)p百2pI面¨叫口J2∥一vp‘，’其中，为流体所受单位质量的保守体积力．对定常流动，有塑：0．塑：0，塑：0afaIa￡于是式(5)为p口·％=p(％鲁+秽，鲁+％詈)=p，一vp讨论同一条流线上各点的参量关系．用d，=雪df点积方程的两边得∥·d，一(昂)·d，=p(也罢+t，，詈+虬詈)·口山=p(鲁如+詈d，，+詈出)·口化简为一pd咖一dp=p(d口)·雷=pd(等)．警+d(孚)Ⅲ=o(6)其中西为单位质量的势函数，一d咖=，·d，．式(6

6、)就是理想流体定常流动时沿流线上点的参量所满足的微分方程，也就是普遍的伯努利方程．式(6)也可以由热力学第一定律在绝热条件下导出‘3】．在普通物理学中当考虑内能后也可以推导出式(6)．若流体不可压缩，则p为常数，式(6)为d(詈+孚叫=o即p+_j}P口2+p咖=常数(7)式(7)就是不可压缩流体所满足的最常见的伯努利方程．如果是可压缩理想气体，并且流动过程中等熵，则由泊松(Pojsson)公式以及py=常数，得到印1=常数￡(8)则軎=印。1一dp=d(≠争h_1)／’)=d(≠，一号)于是由式(6)，可压缩理想气体在等熵定常流动过程中沿流线的微分方程为d(搿+≥叫-

7、o即[4]掣+睾+咖=常数(9)y一1p。2。’”。一、。7有了可压缩流体的伯努利方程式(6)，才可以严格讨论在什么情况下可以近似应用不可压缩流体的伯努利方程(7)计算气体的流动．对式(6)两边沿流线从点1到点2积分，得f‘生+(秽；一口：)／2+(咖：一咖。)：o当l、2两点的气体相对压差较小时，密度p的变化也较小，于是厂譬*(p：一p。)／p，其中p∈[p：，p。]．olP因此得到pl+p口：／2+p咖l=p2+pt，；／2+p咖2这也就是应用式(7)得到的结果．3注水管和排气管中的流体的流速水可以看作不可压缩流体，忽略重力势能的影响